《2025年拔尖特训八年级数学上册苏科版》

11. 如图,在锐角三角形$ABC$中,$CF\perp AB$,$BE\perp AC$,垂足分别为$F$、$E$,连接$EF$,$M$、$N分别是BC$、$EF$的中点,连接$MN$、$EM$、$FM$。
(1)求证：$MN\perp EF$。
(2)若$\angle A= 80^{\circ}$,求$\angle EMF$的度数。

答案：
(1)
∵CF⊥AB,BE⊥AC,
∴∠CFB=∠CEB=90°.
∵M是BC的中点，
∴BM=FM=$\frac{1}{2}$BC,CM=EM=$\frac{1}{2}$BC.
∴FM=EM.
∵N是EF的中点，
∴MN⊥EF.
(2)
∵∠A=80°,
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=100°.
∵BM=FM,CM=EM,
∴∠ABC=∠BFM,∠ACB=∠CEM.
∴∠BFM+∠CEM=100°.
∴　∠FMB+∠EMC=360°−(∠ABC+∠ACB+∠BFM+∠CEM)=160°.
∴　∠EMF=180°−(∠FMB+∠EMC)=20°.

12. (1)如图①,$P是\angle AOB$内部的任意一点,$PM\perp OA$,$PN\perp OB$,垂足分别是$M$、$N$,$D是OP$的中点,连接$DM$、$DN$。求证：$\angle MDN= 2\angle MON$。
(2)如图②,$P是\angle AOB$外部的任意一点,$PM\perp OA$,$PN\perp OB$,垂足分别是$M$、$N$,$D是OP$的中点,连接$DM$、$DN$,则$\angle MDN与\angle MON$有何数量关系？请说明理由。

答案：
(1)
∵PM⊥OA,
∴∠OMP=90°.
∵D是OP的中点，
∴DM=$\frac{1}{2}$OP=DO.
∴∠DMO=∠DOM.
∴∠MDP=2∠MOP.
同理,可得∠NDP=2∠NOP.
∴∠MDN=∠MDP+∠NDP=2(∠MOP+∠NOP)=2∠MON.
(2)∠MDN=2∠MON.
理由:
∵PM⊥OA,
∴∠OMP=90°.
∵D是OP的中点，
∴DM=$\frac{1}{2}$OP=DO.
∴∠DMO=∠DOM.
∴∠MDP=2∠MOP.
同理,可得∠NDP=2∠NOP.
∴∠MDN=∠NDP−∠MDP=2(∠NOP−∠MOP)=2∠MON.

13. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^{\circ}$,$M是AB$的中点,$E$、$F分别是AC$、$BC$延长线上的点,且$CE= CF= \frac{1}{2}AB$,则$\angle EMF$的度数为______。

答案：
45°　解析:如图，连接CM.
∵∠ACB=90°,M是AB的中点，
∴CM=$\frac{1}{2}$AB,AM=BM=$\frac{1}{2}$AB.
∵CE=CF=$\frac{1}{2}$AB,
∴CE=CF=MC.
∴∠1=∠E,∠2=∠F.
∵∠1+∠E=∠4,∠2+∠F=∠3,
∴　∠1=$\frac{1}{2}$∠4,∠2=$\frac{1}{2}$∠3.
∴∠1+∠2=$\frac{1}{2}$(∠4+∠3)=$\frac{1}{2}$×90°=45°,即∠EMF=45°.

14. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^{\circ}$,点$D在边AC$上(不与点$A$、$C$重合),$DE\perp AB于点E$,连接$BD$,$F为BD$的中点,连接$EF$、$CF$、$CE$。
(1)若$BD= 10$,求$EF$的长。
(2)写出图中的所有等腰三角形。
(3)试猜想$\angle A与\angle CEF$的关系并证明。

答案：
(1)
∵DE⊥AB,
∴∠DEB=90°.
∵F为BD的中点，
∴EF=$\frac{1}{2}$BD=5.
(2)△DEF、△BEF、△DCF、△BCF、△CEF是等腰三角形.
(3)∠A=∠CEF.
∵∠DEB=90°,∠ACB=90°,F为BD的中点，
∴FE=FB=FC.
∴∠CEF=∠ECF,∠FEB=∠FBE,∠FCB=∠FBC.
∴∠EFD=2∠EBF,∠CFD=2∠FBC.
∴∠CEF=$\frac{1}{2}$×(180°−∠CFE)=$\frac{1}{2}$×(180°−∠EFD−∠CFD)=$\frac{1}{2}$×(180°−2∠EBF−2∠FBC)=90°−∠EBF−∠FBC.
∵∠A=90°−∠ABC=90°−∠EBF−∠FBC,
∴∠A=∠CEF.