《2025年拔尖特训八年级数学上册苏科版》

典例1 如图,$AB = BC$,要判定$\triangle ABD \cong \triangle CBD$,还需要添加一个条件,你添加的条件是AD=CD(只需写一个,不添加辅助线)。

答案： 答案不唯一,如AD=CD

[变式] 如图,$AB \perp DB$,$AC \perp EC$,垂足分别为B、C。已知$AD = AE$,$AC = AB$,$BD与CE$交于点F,连接$AF$、$CD$、$BE$。
(1) 求证：$\angle ADB = \angle AEC$。
(2) 求证：$CD = BE$。
(3) 图中共有5对全等三角形。

答案：
(1)
∵AB⊥DB,AC⊥EC,
∴∠ABD=∠ACE=90°.
在Rt△ADB和Rt△AEC中,
{AD=AE,
AB=AC,
}
∴Rt△ADB≌Rt△AEC.
∴∠ADB=∠AEC.
(2)
∵Rt△ADB≌Rt△AEC,
∴BD=CE.
在Rt△AFC和Rt△AFB中,
{AF=AF,
AC=AB,
}
∴Rt△AFC≌Rt△AFB.
∴CF=BF.
∴CE - CF=BD - BF,即EF=DF.
在△DCF和△EBF中,
{CF=BF,
∠CFD=∠BFE,
DF=EF,
}
∴△DCF≌△EBF.
∴CD=BE.
(3)5.

典例2 如图,点E、F在BD上,且$AB = CD$,$BF = DE$,$AE = CF$,$AC与BD$交于点O。求证：$AC与BD$互相平分。

提示
先证$\triangle ABE \cong \triangle CDF$,得$\angle B = \angle D$,再证$\triangle ABO \cong \triangle CDO$,根据全等三角形的性质可证明$AO = CO$,$BO = DO$,则$AC与BD$互相平分。

答案：
∵BF=DE,
∴BF - EF=DE - EF,即BE=DF.
在△ABE和△CDF中,
{AB=CD,
BE=DF,
AE=CF,
}
∴△ABE≌△CDF.
∴∠B=∠D.
在△ABO和△CDO中,
{∠AOB=∠COD,
∠B=∠D,
AB=CD,
}
∴△ABO≌△CDO.
∴AO=CO,BO=DO,即AC与BD互相平分.

[变式] 我们把两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”。如图,四边形ABCD是一个“筝形”,其中$AD = CD$,$AB = CB$。
(1) 求证：$\angle ABD = \angle CBD$。
(2) 设对角线AC、BD相交于点O,$OE \perp AB$,$OF \perp CB$,垂足分别是E、F。请直接写出图中所有的全等三角形。

答案：
(1)在△ABD和△CBD中,
{AD=CD,
AB=CB,
BD=BD,
}
∴△ABD≌△CBD.
∴∠ABD=∠CBD.
(2)题图中所有的全等三角形有△ABO≌△CBO、△OAD≌△OCD、△BOE≌△BOF、△OAE≌△OCF、△ABD≌△CBD.