《2025年拔尖特训八年级数学上册苏科版》

9. 对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形,现有如图所示的“垂美”四边形ABCD,对角线AC、BD交于点O。若$AD= 2$,$BC= 4$,则$AB^{2}+CD^{2}$的值为20。

答案： 20

10. 如图,$CB⊥AD$,$AE⊥CD$,垂足分别为B,E,AE、BC相交于点F,$AB= CB$。若$AB= 8$,$CF= 2$,则CD的长为10。

答案： 10 解析:
∵ $CB \perp AD$,$AE \perp DC$,
∴ $\angle ABF=\angle CBD=\angle AED=90^\circ$.
∴ $\angle A+\angle D=90^\circ$,$\angle C+\angle D=90^\circ$.
∴ $\angle A=\angle C$.在$\triangle ABF$和$\triangle CBD$中,$\begin{cases}\angle A=\angle C,\\AB=CB,\\\angle ABF=\angle CBD,\end{cases}$
∴ $\triangle ABF \cong \triangle CBD$.
∴ $BF=BD$.
∵ $AB=CB=8$,$CF=2$,
∴ $BF=BC - CF=6$,
∴ $BD=6$.在$\text{Rt}\triangle BCD$中,$CD^2=BD^2+BC^2$,
∴ 易得$CD=10$.

11. 如图①②③,已知点C,请你按下列要求分别设计一个$△ABC$,使$∠C= 90^{\circ }$,$AC= BC$。
(1)AB的长为无理数,AC、BC的长均为有理数。
(2)AB的长为有理数,AC、BC的长均为无理数。
(3)三边的长均为无理数。

答案：
答案不唯一,如
(1)如图①所示.
(2)如图②所示.
(3)如图③所示.

12. 如图,在$△ABC$中,$AB= AC$,$CD⊥AB$于点D,M为AC的中点,连接DM。
(1)若$∠A= 42^{\circ }$,求$∠DCB$的度数。
(2)若$BD= 1$,$CD= 3$,求DM的长。

答案：
(1)
∵ $AB=AC$,$\angle A=42^\circ$,
∴ $\angle ACB=\angle B=\frac{1}{2}×(180^\circ - 42^\circ)=69^\circ$.
∵ $CD \perp AB$,
∴ $\angle ADC=\angle BDC=90^\circ$.
∴ $\angle DCB=90^\circ - 69^\circ=21^\circ$.
(2)设$AB=AC=x$,则$AD=x - 1$.在$\text{Rt}\triangle ADC$中,$AC^2=CD^2+AD^2$,
∴ $x^2=3^2+(x - 1)^2$,解得$x=5$.
∴ $AC=5$.在$\text{Rt}\triangle ADC$中,$M$为$AC$的中点,
∴ $DM=\frac{1}{2}AC=2.5$.

13. 一个钝角三角形的两边长为3、4,则第三边的长可以为(C)
A.4
B.5
C.6
D.7

答案： C

14. 如图,在$Rt△ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ }$,$AB= 5cm$,$BC= 3cm$,动点P从点A出发,沿射线AC以1cm/s的速度运动,连接BP,设运动时间为ts。
(1)当$△ABP$为直角三角形时,求t的值。
(2)当$△ABP$为等腰三角形时,求t的值。

答案：
(1)
∵ $\angle ACB=90^\circ$,$AB=5\ \text{cm}$,$BC=3\ \text{cm}$,$AC^2=AB^2 - BC^2$,
∴ $AC=4\ \text{cm}$.①当$\angle APB$为直角时,点$P$与点$C$重合,$AP=AC=4\ \text{cm}$,
∴ $t=4$.②当$\angle ABP$为直角时,$AP=t\ \text{cm}$,$CP=(t - 4)\ \text{cm}$,$BC=3\ \text{cm}$.在$\text{Rt}\triangle BCP$中,$BP^2=BC^2+CP^2$,在$\text{Rt}\triangle BAP$中,$AB^2+BP^2=AP^2$,
∴ $5^2+[3^2+(t - 4)^2]=t^2$,解得$t=\frac{25}{4}$.综上所述,当$\triangle ABP$为直角三角形时,$t$的值为4或$\frac{25}{4}$.
(2)①当$AP=AB$时,$t=5$.②当$AB=BP$时,易得$AP=2AC=8\ \text{cm}$,
∴ $t=8$.③当$PB=PA$时,易得$PB=PA=t\ \text{cm}$,$CP=(4 - t)\ \text{cm}$,$BC=3\ \text{cm}$,在$\text{Rt}\triangle BCP$中,$BP^2=BC^2+CP^2$,
∴ $t^2=3^2+(4 - t)^2$,解得$t=\frac{25}{8}$.综上所述,当$\triangle ABP$为等腰三角形时,$t$的值为5或8或$\frac{25}{8}$.