《2025年拔尖特训八年级数学上册苏科版》

(1)观察:图②中,大正方形的面积可以用$(a+b)^{2}$表示,也可以用含a、b、c的代数式表示为$2ab+c^{2}$,那么可以得到等式:$(a+b)^{2}=2ab+c^{2}$.整理后,得到a、b、c之间的数量关系:$a^{2}+b^{2}= c^{2}$,这就是著名的勾股定理,它反映了直角三角形的三边关系,即直角三角形的两直角边长a、b与斜边长c满足的关系式.
(2)思考:爱动脑的小明通过图②得到启示,发现其他图形也能验证勾股定理,请你帮助小明画出该图形(画出一种即可).
(3)应用:如图③,在$Rt△ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ },AC= 3,BC= 4$,则$AB= $5.若D为射线BC上一点,将$△ACD$沿AD所在直线翻折,点C的对应点为$C'$,点$C'$在射线BA上,则$CD= $$\frac{3}{2}$或6.

答案： （1）$2ab+c^{2}$；$(a+b)^{2}=2ab+c^{2}$.（2）答案不唯一，如图①所示.（3）5；$\frac{3}{2}$或6. 解析：在$\text{Rt}\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，$AC=3$，$BC=4$，由勾股定理，得$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}=25$，$\therefore AB=5$.分两种情况：①当点D在线段BC上时，如图②，设$CD=x$.由翻折，可知$C'D=x$，$BD=BC - CD=4 - x$，$BC'=AB - AC'=AB - AC=5 - 3=2$，$\angle AC'D=\angle ACD=90^{\circ}$.$\therefore \angle BC'D=90^{\circ}$.在$\text{Rt}\triangle BDC'$中，由勾股定理，得$BD^{2}=BC'^{2}+C'D^{2}$，即$(4 - x)^{2}=2^{2}+x^{2}$，解得$x=\frac{3}{2}$.$\therefore CD=\frac{3}{2}$.②当点D在BC的延长线上时，如图③，设$CD=y$.由翻折，可知$C'D=y$，$BD=BC + CD=4 + y$，$BC'=AB + AC'=AB + AC=5 + 3=8$，$\angle C'=\angle ACD=\angle ACB=90^{\circ}$.在$\text{Rt}\triangle BDC'$中，由勾股定理，得$BD^{2}=BC'^{2}+C'D^{2}$，即$(4 + y)^{2}=8^{2}+y^{2}$，解得$y=6$.$\therefore CD=6$.综上所述，$CD=\frac{3}{2}$或6.