《2025年拔尖特训八年级数学上册苏科版》

6. 如图,在四边形$ABCD$中,$AD // BC$,$DB平分\angle ADC$,$CE平分\angle BCD$,交$AB于点E$,交$BD于点O$,连接$ED$。求证：点$O到EB与ED$的距离相等。

答案：
∵AD//BC,
∴∠ADC+∠BCD=180°.
∵DB平分∠ADC,CE平分∠BCD,
∴∠ODC= $\frac{1}{2}$∠ADC,∠OCD=∠OCB= $\frac{1}{2}$∠BCD.
∴∠ODC+∠OCD= $\frac{1}{2}$(∠ADC+∠BCD)=90°.
∴∠DOC=90°.
∴∠DOC=∠BOC=90°.又
∵CO=CO,∠OCD=∠OCB,
∴△DCO≌△BCO.
∴CD=CB.又
∵∠DCE=∠BCE,CE=CE,
∴△DCE≌△BCE.
∴∠DEC=∠BEC.
∴EC平分∠BED.
∴点O到EB与ED的距离相等.

7. *如图,$AD // BC$,$\angle D = 90^{\circ}$,$AP平分\angle DAB$,$BP平分\angle ABC$,点$P恰好在DC$上。
(1)求证：$P为DC$的中点。
(2)试探究线段$AB$、$AD$、$BC$的数量关系。

答案：
(1)过点P作PE⊥AB于点E.
∵∠D=90°,AD//BC,
∴∠C=90°.
∵AP平分∠DAB,BP平分∠ABC,
∴PD=PE,PC=PE.
∴PC=PD.
∴P为DC的中点
(2)在Rt△ADP和Rt△AEP中,{AP=AP,PD=PE,
∴Rt△ADP≌Rt△AEP.
∴AD=AE.同理可证,BC=BE.
∵AE+BE=AB,
∴AD+BC=AB.

8. 如图,$\angle B = \angle C = 90^{\circ}$,$M是BC$的中点,$DM平分\angle ADC$,连接$AM$。
(1)求证：$AM平分\angle BAD$。
(2)线段$DM与AM$之间有怎样的位置关系？请说明理由。
(3)线段$CD$、$AB$、$AD$之间有怎样的数量关系？请说明理由。

答案：
(1)过点M作ME⊥AD于点E.
∵∠C=90°,ME⊥AD,DM平分∠ADC,
∴ME=MC.
∵M是BC的中点,
∴MB=MC.
∴ME=MB.又
∵ME⊥AD,∠B=90°,
∴AM平分∠BAD.
(2)DM⊥AM.理由:
∵DM平分∠ADC,AM平分∠BAD,
∴∠ADM= $\frac{1}{2}$∠ADC,∠DAM= $\frac{1}{2}$∠BAD.
∵∠B+∠C=90°+90°=180°,
∴CD//AB.
∴∠ADC+∠BAD=180°.
∴∠ADM+∠DAM=90°.
∴∠DMA=180°-(∠ADM+∠DAM)=90°,即DM⊥AM.
(3)CD+AB=AD.理由:
∵ME⊥AD,
∴∠DEM=90°=∠C.在Rt△DCM和Rt△DEM中,{DM=DM,MC=ME,
∴Rt△DCM≌Rt△DEM.
∴CD=ED.同理,可得AE=AB.
∵ED+AE=AD,
∴CD+AB=AD.