《2025年拔尖特训八年级数学上册苏科版》

12. 在平面直角坐标系中,已知点$A(2m+1,-3)和点B(2,1-m)$.
(1)若$AB⊥x$轴,求m的值.
(2)若将点A先向上平移a个单位长度,再向右平移a个单位长度,得到点B,求a的值.

答案： （1）
∵AB⊥x 轴，
∴2m+1=2，解得 m=$\frac{1}{2}$.（2）由题意，得$\begin{cases}-3+a=1 - m, \\2m+1+a=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=-3, \\a=7.\end{cases}$
∴a=7.

13. 在第41届洛阳牡丹文化节的开幕式上,某个歌唱表演中,歌手A、B、C的站位如图所示.
(1)当歌手B、C的站位所处的坐标分别为$(0,0)$、$(3,-3)$时,画出相应的平面直角坐标系,并写出歌手A的站位所处的坐标：____.
(2)在(1)中的平面直角坐标系中,若点B保持不动,将点A向上平移2个单位长度后再向左平移1个单位长度到点$A'$的位置,将点C向左平移1个单位长度到点$C'$的位置,画出$△A'BC'$,判断$△A'BC'$是否为直角三角形,并说明理由.

答案：
（1）如图所示.（-2,-4）.（2）如图所示.△A'B'C'为直角三角形.理由：由图可知，A'B'²=3²+2²=13，B'C'²=2²+3²=13，A'C'²=5²+1²=26.
∵13+13=26，
∴A'B'²+B'C'²=A'C'².
∴△A'B'C'为直角三角形.

14. 在平面直角坐标系中,点的两种移动方式如下：从点$(x,y)移动到点(x+2,y+1)$称为一次甲方式,从点$(x,y)移动到点(x+1,y+2)$称为一次乙方式.点P从原点O出发连续移动10次,每次移动按照甲方式或乙方式,最终移动到点$A(a,b)$,其中按照甲方式移动了m次,则a与b满足的数量关系是____a+b=30.

答案： a+b=30 解析：
∵点 P 按照甲方式移动了 m 次，点 P 从原点 O 出发连续移动 10 次，
∴点 P 按照乙方式移动了（10 - m）次.
∴点 P 按照甲方式移动 m 次后得到的点的坐标为（2m,m）.
∴点（2m,m）按照乙方式移动（10 - m）次后得到的点的横坐标为 2m+10 - m=m+10，纵坐标为 m+2(10 - m)=20 - m.
∴a=m+10,b=20 - m，即 a+b=30.

15. 如图,$△ABC中任意一点P(m,n)经平移后的对应点为Q(m+4,n+2)$,将$△ABC进行同样的平移得到△DEF$(点A、B、C的对应点分别为D、E、F).
(1)求点D、E、F的坐标.
(2)连接线段OD,请在x轴上找一点G,使得$△DOG$的面积为4.求满足条件的点G的坐标.

答案： （1）根据△ABC 中任意一点 P(m,n)经平移后的对应点为 Q(m+4,n+2)，可知△ABC 是向上平移 2 个单位长度，向右平移 4 个单位长度得到的△DEF.
∴D(1,4)、E(5,2)、F(-1,0).（2）
∵△DOG 的面积为 4，D(1,4)，点 G 在 x 轴上，
∴$\frac{1}{2}$OG·4=4.
∴OG=2.
∴点 G 的坐标为（-2,0）或（2,0）.