《2025年拔尖特训八年级数学上册苏科版》

1. 如图,在$\triangle ABC$中,$∠CAB= ∠CBA= 48^{\circ }$,O为$\triangle ABC$内一点,$∠OAB= 12^{\circ }$,$∠OBC= 18^{\circ }$,则$∠ACO+∠AOB$的度数为( )

A.$190^{\circ }$
B.$195^{\circ }$
C.$200^{\circ }$
D.$210^{\circ }$

答案：
1.D　解析:如图,过点C作CD⊥AB,垂足为D,延长BO交CD于点P,连接AP.
∵　∠OBC=18°,∠CBA=48°,
∴∠ABP=∠CBA−∠OBC=30°.
∵∠CAB=∠CBA=48°,
∴CA=CB.
∵CD⊥AB,
∴AD=BD.
∴CD是AB的垂直平分线.
∴PA=PB.
∴∠PAB=∠PBA=30°.
∴∠CAP=∠CAB−∠PAB=18°.
∵∠AOP是△AOB 的一个外角,
∴∠AOP=∠OAB+∠OBA=42°.
∵CD⊥AB,
∴∠CDA=90°,
∴∠ACD=90°−∠CAD=42°,
∴∠AOP=∠ACD.
∵∠PAB=30°,∠OAB=12°,
∴　∠PAO=∠PAB−∠OAB=18°.
∴∠CAP=∠OAP.
∵AP=AP,
∴△ACP≌△AOP.
∴AC=AO.
∵∠CAO=∠CAP+∠OAP=36°,
∴∠ACO=∠AOC=72°.
∵∠AOB=180°−∠OAB−∠OBA=138°,
∴∠ACO+∠AOB=210°.
　　

2. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$AD⊥BD$于点D,$∠BAD= 20^{\circ }$.若$BC= 2BD$,则$∠BAC$的度数为______40°.

答案： 2.40°

3. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$∠BAC和∠ACB$的平分线相交于点D,$∠BAC$的平分线交BC于点E,$∠ADC= 125^{\circ }$.求$∠ACB和∠BAC$的度数.

答案： 3.
∵AB=AC,AE平分∠BAC,
∴AE⊥BC.
∴∠AEC=90°.
∵∠ADC=125°,
∴∠CDE=180°−∠ADC=55°.
∴∠DCE=90°−∠CDE=35°.又
∵CD平分∠ACB,
∴∠ACB=2∠DCE=70°.又
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB=70°.
∴　∠BAC=180°−(∠B　+∠ACB)=40°.

4. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$∠BAC= 36^{\circ }$,BD是$∠ABC$的平分线,交AC于点D,E是AB的中点,连接ED并延长,交BC的延长线于点F,连接AF.求证：
(1)$EF⊥AB$.
(2)$AF= AB+BC$.

答案： 4.
(1)
∵AB=AC、∠BAC=36°,
∴∠ABC=$\frac{1}{2}$×(180°−36°)=72°.又
∵BD是∠ABC的平分线,
∴∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC=36°,
∴∠BAD=∠ABD=36°.
∴AD=BD.又
∵E是AB的中点,
∴ED⊥AB,即EF⊥AB.
(2)由
(1),知ED⊥AB,
∵E是AB的中点,
∴EF是AB的垂直平分线.
∴AF=BF.
∴∠FAB=∠FBA=72°.
∴易得∠AFB=∠FAC=36°.
∴CF=AC.
∴AB=AC=CF.
∴AF=BF=CF+BC=AB+BC.

5. 如图①,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,D是BC的中点,点E在AD上.
(1)求证：$BE= CE$.
(2)如图②,若BE的延长线交AC于点F,且$BF⊥AC$,$∠BAC= 45^{\circ }$,其他条件不变,求证：$AE= BC$.

答案： 5.
(1)
∵AB=AC,D是BC的中点,
∴AD⊥BC.
∴AD垂直平分BC,
∴BE=CE.
(2)
∵BF⊥AC,∠BAC=45°,
∴　易得∠AFE=∠BFC=90°,△ABF是等腰直角三角形.
∴AF=BF,∠CBF+∠C=90°.
∵AB=AC,D是BC的中点,
∴AD⊥BC.
∴∠EAF+∠C=90°.
∴∠EAF=∠CBF.在△AEF和△BCF中$\left\{\begin{array}{l}∠EAF=∠CBF,\\ AF=BF,\\ ∠AFE=∠BFC,\end{array}\right.$
∴△AEF≌△BCF.
∴AE=BC.