《2025年拔尖特训八年级数学上册苏科版》

11. 如图,点A、B、C、D在同一条直线上,点E、F分别在直线AB的两侧,且AE= BF,∠A= ∠B,∠DCE= ∠CDF.
(1)求证：△ACE≌△BDF.
(2)若AB= 16,AC= 4,求CD的长.

答案：
(1)
∵ ∠ACE+∠DCE=180°，∠BDF + ∠CDF = 180°，且∠DCE=∠CDF，
∴ ∠ACE=∠BDF.
在△ACE 和△BDF 中，∠ACE=∠BDF，∠A=∠B，AE=BF，
∴ △ACE≌△BDF.
(2)由
(1)可知，△ACE≌△BDF，
∴ AC=BD.
∵ AC=4，
∴ BD=4.
∵ AB=16，
∴ CD=AB−AC−BD=16−4−4=8.

12. 如图,∠BAD= ∠CAE= 90°,AB= AD,AE= AC,AF⊥CB,交CB的延长线于点F.
(1)求证：△ABC≌△ADE.
(2)求∠FAE的度数.
(3)求证：CD= 2BF+DE.

答案：
(1)
∵ ∠BAD=∠CAE=90°，
∴ ∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°.
∴ ∠BAC=∠DAE.
在△ABC 和△ADE 中，AB=AD，∠BAC=∠DAE，AC=AE，
∴ △ABC≌△ADE.
(2)
∵ ∠CAE=90°，AC=AE，
∴ 易得∠E=∠ECA=45°.
由
(1)，知△ABC≌△ADE，
∴ ∠BCA=∠E=45°.
∵ AF⊥BC，
∴ ∠CFA=90°.
∴ ∠CAF=45°.
∴ ∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°.
(3)如图，延长BF到点G，使得FG=FB，连接AG.
∵ AF⊥BG，
∴ ∠AFB=∠AFG=90°.
在△AFB 和△AFG 中，BF=GF，∠AFB=∠AFG，AF=AF，
∴ △AFB≌△AFG.
∴ AB=AG，∠ABF=∠G.
∵ △ABC≌△ADE，AB=AD，
∴ AG=AD，∠CBA=∠EDA，CB=ED.
∴ ∠ABF=∠CDA.
∴ ∠G=∠CDA.
在△CGA 和△CDA 中，∠GCA=∠DCA=45°，∠G=∠CDA，AG=AD，
∴ △CGA≌△CDA.
∴ CG=CD.
∵ CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF，
∴ CD=2BF+DE.

13. 如图,在△ABC中,D为BC的中点,△AEF的边EF过点C,且AE= EF,AB//EF,AD平分∠BAE. 若CE= 2,AB= 9,则CF的长为______5.

答案： 5　解析:延长FE交AD的延长线于点H.
∵ AD平分∠BAE，
∴ ∠BAD=∠HAE.
∵ AB//FH，
∴ ∠H=∠BAD.
∴ ∠H=∠HAE.
∴ 易得AE=HE.
∵ AE=EF，
∴ EF=HE.
∵ D为BC的中点，
∴ DC=DB. 在△HDC 和△ADB 中，∠H=∠BAD，∠HDC=∠ADB，DC=DB，
∴ △HDC≌△ADB.
∴ CH=BA.
∵ AB=9，
∴ CH=HE+CE=9. 又
∵ CE=2，
∴ HE=7.
∴ EF=7.
∴ CF=EF−CE=5.

14. 已知△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F,过点F作FG//BC,交直线AB于点G.
(1)如图①,若△ABC为锐角三角形,且∠ABC= 45°. 求证：
①△BDF≌△ADC.
②FG+DC= AD.
(2)如图②,若∠ABC= 135°,试探究FG、DC、AD之间的数量关系.

答案：
(1)① 由题意，可知∠ADB=90°，∠ABC=45°，
∴ ∠BAD=∠ABC=45°.
∴ 易得AD=BD.
∵ ∠BEC=∠ADC=90°，
∴ ∠CBE+∠C=∠DAC+∠C=90°.
∴ ∠CBE=∠DAC.
又
∵ ∠FDB=∠CDA=90°，
∴ △BDF≌△ADC.
②
∵ △BDF≌△ADC，
∴ DF=DC.
∵ GF//BC，
∴ ∠AGF=∠ABC=45°.
∴ ∠AGF=∠BAD.
∴ 易得FA=FG.
∴ FG+DC=FA+DF=AD.
(2)
∵ ∠ABC=135°，
∴ ∠ABD=45°.
∵ ∠BDA=90°，FG//BC，
∴ ∠DAB=45°，∠G=∠ABD=45°.
∴ 易得BD=AD，FG=AF.
∵ ∠FAE +∠DFB=∠FAE+∠C=90°，
∴ ∠DFB=∠C.
又
∵ ∠FDB=∠CDA=90°，BD=AD，
∴ △BDF≌△ADC.
∴ DF=DC.
∴ FG=AF=AD+DF=AD+DC.