《2025年拔尖特训八年级数学上册苏科版》

5. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB＞AC$,$∠1= ∠2$,$P为AD$上一点,连接$PB$、$PC$.求证：$AB-AC＞PB-PC$.

答案：
如图，在AB上截取AE，使AE=AC，连接PE.在△AEP和△ACP中，AE=AC，∠1=∠2，AP=AP，
∴△AEP≌△ACP.
∴PE=PC.在△PBE中，
∵BE＞PB-PE，
∴AB-AE＞PB-PC，即AB-AC＞PB-PC.
　　

6. 如图,在$\triangle ABC$中,$∠B= 60^{\circ}$,$\triangle ABC的角平分线AD$、$CE相交于点O$.
(1)求$∠AOC$的度数.
(2)求证：$AE+CD= AC$.
(3)求证：$OE= OD$.

答案：
（1）
∵在△ABC中，∠B=60°，
∴∠BAC+＜/think＞+∠ACB=180°-∠B=180°-60°=120°.
∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，
∴∠OAC=∠OAB=1/2∠BAC，∠OCD=∠OCA=1/2∠ACB.
∴在△OAC中，∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-1/2（∠BAC+∠ACB）=180°-1/2×120°=120°.
（2）
∵∠AOC=120°，
∴∠AOE=∠DOC=180°-∠AOC=180°-120°=60°.如图，在AC上截取AF=AE，连接OF.在△AOE和△AOF中，AE=AF，∠OAE=∠OAF，OA=OA，
∴△AOE≌△AOF.
∴∠AOE=∠AOF=60°.
∴∠COF=∠AOC-∠AOF=120°-60°=60°.又
∵∠COD=60°，
∴∠COD=∠COF.在△COD和△COF中，∠COD=∠COF，OC=OC，∠OCD=∠OCF，
∴△COD≌△COF.
∴CD=CF.又
∵AF=AE，
∴AC=AF+CF=AE+CD，即AE+CD=AC.
（3）
∵△AOE≌△AOF，△COD≌△COF，
∴OE=OF，OD=OF.
∴OE=OD.
　　

7. 如图,在四边形$ABDC$中,$∠B+∠C= 180^{\circ}$,$DB= DC$,$∠BDC= 120^{\circ}$,以$D为顶点作一个60^{\circ}$角,角的两边分别交$AB$、$AC于E$、$F$两点,连接$EF$.试写出线段$BE$、$CF和EF$之间的数量关系,并说明理由.

答案：
EF=BE+CF.理由：如图，延长AB到点M，使BM=CF，连接MD.
∵∠ABD+∠C=180°，∠ABD+∠MBD=180°，
∴∠MBD=∠C.在△BDM和△CDF中，BD=CD，∠MBD=∠C，BM=CF，
∴△BDM≌△CDF.
∴DM=DF，∠BDM=∠CDF.
∵∠EDB+∠CDF=∠CDB-∠EDF=120°-60°=60°，
∴∠EDM=∠EDB+∠BDM=60°=∠EDF.在△DEM和△DEF中，DE=DE，∠EDM=∠EDF，DM=DF，
∴△DEM≌△DEF.
∴EM=EF.
∵EM=BE+BM=BE+CF，
∴EF=BE+CF.
　　　　

8. 如图,$\triangle ABC的面积为12cm^{2}$,$AP垂直于∠ABC的平分线BP于点P$,连接$PC$,则$\triangle PBC$的面积为( )

A.$9cm^{2}$
B.$8cm^{2}$
C.$6cm^{2}$
D.$5cm^{2}$

答案：
C 解析：如图，延长AP交BC于点D.
∵BP平分∠ABD，
∴∠ABP=∠DBP.
∵BP⊥AP，
∴∠BPA=∠BPD=90°.又
∵BP=BP，
∴△BAP≌△BDP.
∴AP=DP.
∴△BAP的面积=△BDP的面积，△APC的面积=△DPC的面积.
∵△ABC的面积为12cm²，
∴△PBC的面积=△BDP的面积+△DPC的面积=1/2×△ABC的面积=1/2×12=6（cm²）.
　　　

9. 如图,在四边形$ABCD$中,$AB// CD$,$∠C= 90^{\circ}$,$E是BC$上一点,$AE$、$DE分别平分∠BAD$、$∠CDA$.若$AB= 12$,$DC= 4$,则$AD$的长为( )

A.$12$
B.$16$
C.$18$
D.$20$

答案：
B 解析：如图，过点E作EF⊥AD于点F.
∴∠AFE=∠DFE=90°.
∵AB//CD，∠C=90°，
∴∠B+∠C=180°.
∴∠B=90°.
∵AE、DE分别平分∠BAD、∠CDA，
∴∠BAE=∠FAE，∠CDE=∠FDE.在△ABE和△AFE中，
∵∠B=∠AFE=90°，∠BAE=∠FAE，AE=AE，
∴△ABE≌△AFE.
∴AB=AF=12.在△CDE和△FDE中，
∵∠C=∠DFE=90°，∠CDE=∠FDE，ED=ED，
∴△CDE≌△FDE.
∴CD=FD=4.
∴AD=AF+FD=12+4=16.