《2025年拔尖特训八年级数学上册苏科版》

11. 如图,在由边长为1的小正方形组成的网格图中,点A、B、C、D均在格点(网格线的交点)上。图中∠ABC+∠ADC= ______°。

答案：
45 解析：如图，连接DE、AE.易知在△ABC和△DAE中，{AC=DE,∠ACB=∠DEA=90°,BC=AE,
∴ △ABC≌△DAE.
∴ ∠ABC=∠DAE.
∵ 易知∠DCE=∠DAE+∠ADC=45°,
∴ ∠ABC+∠ADC=45°.
　　　

12. 如图,在△ABC和△ADE中,∠BAC= ∠DAE= 90°,AB= AC,AD= AE,C、D、E三点在同一条直线上,连接BD。
(1)求证：△BAD≌△CAE。
(2)请判断线段BD与线段CE的关系,并证明你的结论。

答案： （1）
∵ ∠BAC=∠DAE=90°，
∴ ∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD.
∴ ∠BAD=∠CAE.在△BAD和△CAE中，{AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,
∴ △BAD≌△CAE.（2）BD=CE且BD⊥CE.由（1），知△BAD≌△CAE，
∴ BD=CE，∠ABD=∠ACE.
∵ AB=AC，∠BAC=90°，
∴ 易得∠ABC=∠ACB=45°.
∴ ∠ABD+∠DBC=45°.
∴ ∠ACE+∠DBC=45°.
∴ ∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°.
∴ ∠BDC=90°.
∴ BD⊥CE.综上所述，BD=CE且BD⊥CE.

13. 如图,BE、CF是△ABC的高,它们相交于点O,点P在BE上,点Q在CF的延长线上,且BP= AC,CQ= AB。
(1)求证：△ABP≌△QCA。
(2)试判断AP和AQ的位置关系,并给出证明过程。

答案： （1）
∵ BE、CF是△ABC的高，
∴ ∠AEB=90°,∠AFC=90°.
∴ ∠ABP+∠BAE=90°,∠QCA+∠BAE=90°.
∴ ∠ABP=∠QCA.在△ABP和△QCA中，{BP=CA,∠ABP=∠QCA,AB=QC,
∴ △ABP≌△QCA.（2）AP⊥AQ.
∵ △ABP≌△QCA，
∴ ∠BAP=∠Q.
∵ 易得∠Q+∠BAQ=90°，
∴ ∠BAP+∠BAQ=90°，即∠PAQ=90°.
∴ AP⊥AQ.

14. 如图,在△ABC中,∠ACB= ∠ABC= 40°,BD是∠ABC的平分线,延长BD至点E,使DE= AD,则∠ECA的度数为( )

A.30°
B.35°
C.40°
D.45°

答案：
C A 解析：如图，在BC上截取BF=BA，连接DF.
∵ BD是∠ABC的平分线，
∴ ∠ABD=∠FBD= $\frac{1}{2}$∠ABC=20°.
∴ 易得△ABD≌△FBD.
∴ ∠A=∠BFD，DA=DF=DE.又
∵ ∠ACB=∠ABC=40°，
∴ ∠A=180°-∠ACB-∠ABC=100°.
∴ ∠DFC=180°-∠BFD=180°-∠A=80°.
∴ ∠FDC=∠BFD-∠ACB=60°.
∵ ∠EDC=∠ADB=180°-∠ABD-∠A=180°-20°-100°=60°，
∴ ∠EDC=∠FDC.在△DCE和△DCF中，{DE=DF,∠EDC=∠FDC,DC=DC,
∴ △DCE≌△DCF.
∴ ∠ECD=∠FCD=40°，即∠ECA=40°.
　　　

15. 如图,在锐角三角形ABC中,AD⊥BC于点D,点E在AD上,DE= DC,BD= AD,F为BC的中点,连接EF并延长至点M,使FM= EF,连接BE、CM。
(1)求证：BE= AC。
(2)试判断线段AC与线段MC的关系,并证明你的结论。

答案： （1）
∵ AD⊥BC，
∴ ∠BDE=∠ADC=90°.在△BDE和△ADC中，{DE=DC,∠BDE=∠ADC,BD=AD,
∴ △BDE≌△ADC.
∴ BE=AC.（2）AC⊥MC且AC=MC.
∵ F为BC的中点，
∴ BF=CF.在△BFE和△CFM中，{BF=CF,∠BFE=∠CFM,EF=MF,
∴ △BFE≌△CFM.
∴ ∠FBE=∠FCM，BE=CM.
∵ △BDE≌△ADC，
∴ ∠DBE=∠DAC，BE=AC.
∴ ∠DAC=∠FCM，AC=MC.
∵ ∠DAC+∠ACD=90°，
∴ ∠FCM+∠ACD=90°，即∠ACM=90°.
∴ AC⊥MC.综上所述，AC⊥MC且AC=MC.