《2025年拔尖特训八年级数学上册苏科版》

9. 如图,AE是∠CAM的平分线,点B在射线AM上,线段BC的垂直平分线交BC、AE于点D、E,过点E作EF⊥AM于点F.若∠ACB= 28°,∠EBD= 25°,则∠AED的度数为______37°.

答案： 37°　解析:如图,连接CE,过点E 作ER⊥AC于点R,交CD于点Q,设AE交BC于点O.
∵DE是线段BC 的垂直平分线，
∴∠EDC=90°,CE=BE.
∴易得∠ECB=∠EBD=25°.
∴∠DEB=∠CED=90°−25°=65°.
∵ER⊥AC,ED⊥BC,
∴∠QRC = ∠QDE = 90°.
∴∠ACB+∠CQR=90°,∠EQD+∠QED=90°.
∵∠CQR=∠EQD,
∴∠ACB=∠QED=28°.
∵AE平分∠CAM,ER⊥AC,EF⊥AM,
∴ER=EF.在Rt△ERC和Rt△EFB中,
∵CE=BE,ER=EF,
∴Rt△ERC≌Rt△EFB.
∴∠EBF=∠ECR=∠ACB+∠ECD=28°+25°=53°.
∵∠EFB=90°,
∴∠BEF=90°−∠EBF=90°−53°=37°.
∴∠REF=∠RED+∠DEB+∠BEF=28°+65°+37°=130°.
∵∠ARE=∠AFE=90°,
∴∠CAM=360°−90°−90°−130°=50°.
∵AE平分∠CAM,
∴∠CAE=$\frac{1}{2}$∠CAM=25°.
∴∠DOE=∠CAE+∠ACB=25°+28°=53°.
∵ED⊥BC,
∴∠EDB=90°.
∴∠AED=90°−∠DOE=90°−53°=37°.

10. 如图,AE、BF是△ABC的角平分线,且相交于点O.若OE= OF,AC≠BC,求∠ACB的度数.

答案： 连接CO,过点O作OM⊥BC,ON⊥AC,OH⊥AB,垂足分别为M、N、H.
∵AE、BF是△ABC的角平分线，
∴ON=OH,OM=OH.
∴OM=ON.在Rt△OEM和Rt△OFN中,{OE=OF,OM=ON,
∴Rt△OEM≌Rt△OFN.
∴∠EOM=∠FON.
∴易得∠EOF=∠MON=180°−∠ACB.
∵AE、BF是△ABC的角平分线，
∴易得∠AOB=90°+$\frac{1}{2}$∠ACB.
∵∠AOB=∠EOF，
∴90°+$\frac{1}{2}$∠ACB=180°−∠ACB.
∴∠ACB=60°.

11. 如图,在∠AOB的两边OA、OB上分别取点M、N,连接MN,MP平分∠AMN,NP平分∠MNB,MP、NP交于点P.
(1)求证：OP平分∠AOB.
(2)若MN= 8,且△PMN与△OMN的面积分别是16和24,求线段OM与ON的长度之和.

答案：
(1)如图,过点P作PC⊥OA于点C,PD⊥MN于点D,PE⊥OB于点E.
∵MP平分∠AMN,PC⊥OA,PD⊥MN,
∴PC=PD.
∵NP平分∠MNB,PD⊥MN,PE⊥OB,
∴PD=PE.
∴PC=PE.又
∵PC⊥OA,PE⊥OB,
∴OP平分∠AOB.
(2)
∵△PMN的面积是16,MN=8,
∴$\frac{1}{2}$MN·PD=16,即$\frac{1}{2}$×8PD=16.
∴PD=4.
∴PD=PC=PE=4.
∵△OMN的面积是24,
∴四边形MONP的面积=△PMN 的面积+△OMN的面积=16+24=40.
∴△POM的面积+△PON的面积=40.
∴$\frac{1}{2}$OM·PC+$\frac{1}{2}$ON·PE=40,即$\frac{1}{2}$OM·4+$\frac{1}{2}$ON·4=40.
∴OM+ON=20.
∴线段OM与ON的长度之和为20.

12. 如图,△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P.若∠BPC= 40°,则∠CAP的度数为______.

50°

答案： 50°　解析:过点P作PN⊥BD 于点N,PF⊥BA,交BA的延长线于点F,PM⊥AC于点M.设∠PCD=x°.
∵CP平分∠ACD,
∴∠ACP=∠PCD=x°,PM=PN.
∵BP平分∠ABC,
∴∠ABP=∠PBC,PF=PN.
∴PF = PM.
∴AP平分∠CAF.
∴∠FAP = ∠MAP.
∵∠BPC = 40°,
∴∠ABP=∠PBC=∠PCD-∠BPC=x°-40°.
∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x°-(x°-40°)-(x°-40°)=80°.
∴∠CAF=100°.
∴∠FAP=∠MAP=50°，即∠CAP=50°.

13. 如图,在△ABC和△ADE中,∠C= ∠E,BC= DE,CA= EA,过点A作AF⊥DE,垂足为F,DE交CB的延长线于点G,连接AG.
(1)求证：GA平分∠DGB.
(2)若S_{四边形DGBA}= 6,$AF= \frac{3}{2},$求FG的长.

答案：
(1)过点A作AH⊥BC于点H.在△ABC和△ADE中,{BC=DE,∠C=∠E,CA=EA,
∴△ABC≌△ADE.
∴S△ABC=S△ADE.
∴$\frac{1}{2}$BC·AH=$\frac{1}{2}$DE·AF.
∴AH=AF.又
∵AF⊥DE,AH⊥BC,
∴GA平分∠DGB.
(2)
∵△ABC≌△ADE,
∴AB=AD.在Rt△ADF和Rt△ABH中,{AD=AB,AF=AH,
∴Rt△ADF≌Rt△ABH.
∴S△ADF=S△ABH.
∴S四边形DGBA=S四边形AFGH=6.在Rt△AFG和Rt△AHG中,{AG=AG,AF=AH,
∴Rt△AFG≌Rt△AHG.
∴S△AFG=S△AHG=3.
∵AF=$\frac{3}{2}$,
∴$\frac{1}{2}$FG·$\frac{3}{2}$=3.
∴FG=4.