《2025年拔尖特训八年级数学上册苏科版》

1. 如图,在$\triangle ABC$中,$BC= 36$,$AB边的垂直平分线和AC边的垂直平分线与BC边分别相交于点E$、$F$,连接$AE$、$AF$,则$\triangle AEF$的周长为(A)

A.36
B.18
C.32
D.24

答案： A

2. 有下列说法：① 若直线$PE是线段AB$的垂直平分线,则$EA= EB$,$PA= PB$；② 若$PA= PB$,$EA= EB$,则直线$PE垂直平分线段AB$；③ 若$PA= PB$,则$P必是线段AB$的垂直平分线上的点；④ 若$EA= EB$,则过点$E的直线垂直平分线段AB$.其中,正确的有(C)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： C

3. 如图,在$\triangle ABC$中,$ED垂直平分BC$,若$CD= 5$,$\triangle BCE$的周长为22,则$BE= $6.

答案： 6

4. 如图,线段$AB的垂直平分线与线段BC的垂直平分线的交点P恰好在AC$上,且$AC= 10\mathrm{c}\mathrm{m}$,则点$B$、$P$之间的距离为5$\mathrm{c}\mathrm{m}$.

答案： 5

5. 如图,$AD与BC相交于点O$,$OA= OC$,$\angle A= \angle C$,$BE= DE$.求证：$OE垂直平分BD$.

答案： 【解析】：
本题考查线段垂直平分线的判定和全等三角形的判定与性质，我们可通过证明三角形全等得到$OB = OD$，再结合$BE = DE$，利用线段垂直平分线的判定定理来证明$OE$垂直平分$BD$。
【答案】：
证明：
在$\triangle AOB$和$\triangle COD$中，
$\begin{cases}\angle A = \angle C \\OA = OC \\\angle AOB = \angle COD\end{cases}$
所以$\triangle AOB\cong\triangle COD(ASA)$。
由全等三角形的性质可得$OB = OD$。
又因为$BE = DE$，
根据线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，可知点$O$和点$E$都在线段$BD$的垂直平分线上。
两点确定一条直线，所以$OE$垂直平分$BD$。

6. 如图,等腰三角形$ABC的底边BC$的长为4,腰长为6,$EF垂直平分AB$,$P为直线EF$上一动点,则$BP+CP$的最小值为(B)
A.10
B.6
C.4
D.2

答案： 【解析】：
本题可根据线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，通过转化线段来求解$BP + CP$的最小值。
步骤一：分析线段垂直平分线的性质
已知$EF$垂直平分$AB$，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等，可得$PA = PB$。
步骤二：转化$BP + CP$的表达式
将$PB$用$PA$替换，则$BP + CP = PA + CP$。
步骤三：确定$PA + CP$的最小值
要使$PA + CP$的值最小，根据两点之间线段最短可知，当$A$，$P$，$C$三点共线时，$PA + CP$的值最小，且最小值为$AC$的长。
步骤四：结合等腰三角形的性质得出结果
因为$\triangle ABC$是等腰三角形，腰长$AC = AB = 6$，所以$BP + CP$的最小值为$6$。
【答案】：B

7. 如图,在$\triangle ABC$中,边$AC的垂直平分线交AB于点D$,交$AC于点E$,连接$CD$.若$AC= 2AD-4$,$\triangle ADC$的周长是16,则$CD$的长为(B)

A.4
B.5
C.6
D.4.5

答案： 【解析】：本题可根据线段垂直平分线的性质得到$AD = CD$，再结合已知条件$\triangle ADC$的周长以及$AC$与$AD$的关系列出方程，进而求出$CD$的长。
步骤一：根据线段垂直平分线的性质得到$AD$与$CD$的关系
已知$DE$是$AC$的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等，可得$AD = CD$。
步骤二：根据$\triangle ADC$的周长列出方程
因为$\triangle ADC$的周长是$16$，根据三角形周长的定义：三角形的周长是三角形三边长度之和，所以$AD + DC + AC = 16$。
又因为$AD = CD$，所以$2AD + AC = 16$。
步骤三：结合$AC$与$AD$的关系求出$AD$的长
已知$AC = 2AD - 4$，将其代入$2AD + AC = 16$中，可得$2AD + 2AD - 4 = 16$。
对$2AD + 2AD - 4 = 16$进行求解：
合并同类项可得$4AD - 4 = 16$，
移项可得$4AD = 16 + 4$，即$4AD = 20$，
两边同时除以$4$，解得$AD = 5$。
步骤四：求出$CD$的长
因为$AD = CD$，$AD = 5$，所以$CD = 5$。
【答案】：B

8. 如图,$AB= CD$,线段$AC的垂直平分线与线段BD的垂直平分线相交于点E$,连接$BE$、$DE$.若$\angle ABE= 65^{\circ }$,则$\angle CDE$的度数为______$^{\circ }$.

65

答案： 证明：连接AE、CE。
∵点E在线段AC的垂直平分线上，
∴AE=CE。
∵点E在线段BD的垂直平分线上，
∴BE=DE。
在△ABE和△CDE中，
AB=CD，AE=CE，BE=DE，
∴△ABE≌△CDE（SSS）。
∴∠ABE=∠CDE。
∵∠ABE=65°，
∴∠CDE=65°。
65

9. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC= 10\mathrm{c}\mathrm{m}$,$BC= 8\mathrm{c}\mathrm{m}$,$AB的垂直平分线交AB于点M$,交$AC于点N$.若直线$MN上存在一点P$,使$P$、$B$、$C三点构成的\triangle PBC$的周长最小,则$\triangle PBC$的周长最小为18$\mathrm{c}\mathrm{m}$.

答案： 【解析】：本题主要考查线段垂直平分线的性质以及利用轴对称求最短路径问题。
因为$MN$是$AB$的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等，所以点$B$与点$A$关于直线$MN$对称，则$PB = PA$。
$\triangle PBC$的周长$=PB + PC + BC$，把$PB = PA$代入可得$\triangle PBC$的周长$=PA + PC + BC$。
要使$\triangle PBC$的周长最小，因为$BC$的长度是固定的$8cm$，所以只需要$PA + PC$最小。
根据两点之间线段最短，当$A$，$P$，$C$三点共线时，$PA + PC$的值最小，即$AC$的长度。
已知$AC = 10cm$，$BC = 8cm$，所以$\triangle PBC$的周长最小值为$AC + BC = 10 + 8 = 18cm$。
【答案】：$18$

10. 如图,在$\triangle ABC$中,$AD\bot BC$,$EF垂直平分AC$,交$AC于点F$,交$BC于点E$,且$BD= DE$,连接$AE$.
(1)求证：$AB= EC$.
(2)若$\triangle ABC的周长为32\mathrm{c}\mathrm{m}$,$AC= 12\mathrm{c}\mathrm{m}$,求$DC$的长.

答案： 【解析】：
(1)我们要证明$AB= EC$，根据题目给出的条件，我们可以利用垂直平分线的性质和等腰三角形的性质进行证明。
(2)要求$DC$的长，我们可以利用已知条件$\triangle ABC$的周长和$AC$的长度，结合第一问的结论进行求解。
【答案】：
(1)证明：
∵$AD\bot BC$，$BD= DE$，
∴$AB= AE$（根据等腰三角形的性质，底边两侧的线段相等，则对应的两腰也相等），
∵$EF$垂直平分$AC$，
∴$AE= EC$（根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴$AB= EC$（等量代换）。
(2)解：
由
(1)知，$AB= AE= EC$，
∵$\triangle ABC$的周长为$32cm$，$AC= 12cm$，
∴$AB+ BC+ AC= 32cm$，
∴$AB+ BE+ EC+ AC= 32cm$，
∴$2EC+ 2DE+ AC= 32cm$（因为$AB= EC$，$BD= DE$，所以$AB+BE=EC+DE$），
∴$2EC+ 2DE= 32cm- 12cm= 20cm$，
∴$DC= DE+ EC= 10cm$。