《2025年拔尖特训八年级数学上册苏科版》

[变式]如图,AB为一棵大树,在大树距地面10 m的点D处有两只猴子,它们同时发现地面上的点C处有一筐水果,一只猴子从点D处向上爬到树顶A处,利用拉在点A处的滑绳AC滑到点C处,另一只猴子从点D处滑到地面点B处,再由点B处跑到点C处.已知两只猴子所经的路程都是15 m,求树高AB.

答案： 由题意，可得$BD=10\ \text{m}$，$BC=5\ \text{m}$.设$AD=x\ \text{m}$，则$AB=(10 + x)\ \text{m}$，$AC=(15 - x)\ \text{m}$.在$\text{Rt}\triangle ABC$中，$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$，即$(10 + x)^{2}+5^{2}=(15 - x)^{2}$，解得$x=2$.$\therefore AB=10 + 2=12(\text{m})$.$\therefore$树高AB为12m.

典例4 如图①,在$△ABC$中,$CD⊥AB$于点D,且$BD:CD:AD= 1:3:4.$
(1)求证:$△ABC$是等腰三角形.
(2)如图②,$S_{△ABC}= 30$,动点M从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿线段BA向终点A运动.设点M运动的时间为ts.若E是边AC的中点,在点M运动的过程中,$△MDE$能否成为等腰三角形?若能,求出t的值；若不能,请说明理由.

提示
(1)设$BD= x(x＞0)$,则$AD= 4x,CD= 3x$,可得$AB= 5x$,由勾股定理求出AC的长,即可得出结论.(2)根据点M的位置分情况讨论即可,另外若$△MDE$为等腰三角形,有三种可能:$DE= DM$；$ED= EM$；$MD= ME$.

答案： （1）设$BD=x(x＞0)$，则$AD=4x$，$CD=3x$.$\because CD\perp AB$，$\therefore \angle ADC=90^{\circ}$.在$\text{Rt}\triangle ACD$中，$AC^{2}=CD^{2}+AD^{2}$，$\therefore AC=5x$.$\because AB=BD + AD=5x$，$\therefore AB=AC$.$\therefore \triangle ABC$是等腰三角形.（2）能.$\because S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× 5x× 3x=30$，$x＞0$，$\therefore x=2$.$\therefore BD=2$，$AD=8$，$CD=6$，$AC=AB=10$.$\because$ E为AC的中点，$\therefore DE=CE=AE=\frac{1}{2}AC=5$.当点M在BD上，即$0\leqslant t＜2$时，$\triangle MDE$为钝角三角形，但$DM\neq DE$，不能构成等腰三角形.当点M运动到点D，即$t=2$时，不构成三角形.当点M在DA上，即$2＜t\leqslant 10$时，有三种可能.若$DE=DM$，则$t - 2=5$，$\therefore t=7$.若$ED=EM$，则易知点M运动到点A，$\therefore t=10$.若$MD=ME=t - 2$，如图，过点E作$EF\perp AD$于点F，易知点M在点F左侧.$\because DE=AE$，$EF\perp AD$，$\therefore AF=DF=4$.在$\text{Rt}\triangle DEF$中$EF^{2}=DE^{2}-DF^{2}$，$\therefore EF=3$.$\because BM=t$，$BF=2 + 4=6$，$\therefore MF=6 - t$.在$\text{Rt}\triangle EMF$中，$EF^{2}+MF^{2}=EM^{2}$，$\therefore 3^{2}+(6 - t)^{2}=(t - 2)^{2}$.$\therefore t=\frac{41}{8}$.综上所述，符合要求的t的值为7或10或$\frac{41}{8}$.

[变式]如图,在四边形ABCD中,$AB// CD,BC= AD= 4,AB= CD= 10,∠DCB= 90^{\circ }$,E为边CD上的一点,$DE= 7$,动点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿着边AB向终点B运动,连接PE、BE,设点P运动的时间为ts.
(1)求BE的长.
(2)若$△BPE$为直角三角形,求t的值.

答案： （1）$\because CD=10$，$DE=7$，$\therefore CE=10 - 7=3$.在$\text{Rt}\triangle CBE$中，$BE^{2}=CE^{2}+BC^{2}$，$\therefore BE=5$.（2）当$\angle BPE=90^{\circ}$时，易得$AP=DE=7$，$\therefore t=7÷ 1=7$.当$\angle BEP=90^{\circ}$时，$BE^{2}+PE^{2}=BP^{2}$，$\therefore$易得$5^{2}+4^{2}+(7 - t)^{2}=(10 - t)^{2}$，解得$t=\frac{5}{3}$.综上所述，当$t=7$或$\frac{5}{3}$时，$\triangle BPE$为直角三角形.