《2025年拔尖特训八年级数学上册苏科版》

[变式] 如图,等腰三角形ABC的底边BC的长为4,面积为18,EF为腰AC的垂直平分线。若D为边BC的中点,M为线段EF上一动点,则$\triangle CDM$周长的最小值为______。

答案：
11 解析:如图,连接AD、AM.
∵△ABC为等腰三角形,D为边BC的中点,
∴AD⊥BC.
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$BC·AD,即$\frac{1}{2}$×4AD=18.
∴AD=9.
∵EF为腰AC的垂直平分线,
∴CM=AM.
∴AD的长为CM+MD的最小值.
∵CD=$\frac{1}{2}$BC=2,是定值,
∴当点M在AD与EF的交点处时,△CDM的周长最小.
∴△CDM周长的最小值为AD+CD=9+2=11.

典例6 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC = 45^{\circ}$,过点C作$CD \perp AB$于点D,过点B作$BM \perp AC$于点M,CD与BM相交于点E,且E是CD的中点,连接MD,过点D作$DN \perp DM$,交BM于点N。
(1) 求证：$\triangle DBN \cong \triangle DCM$。
(2) 请探究线段NE、ME、CM之间的数量关系。

答案：
(1)
∵∠ABC=45°,CD⊥AB,
∴∠ABC=∠DCB=45°,
∴BD=CD.
∵CD⊥AB,DN⊥DM,
∴∠BDC=∠MDN=90°.
∴∠BDN=∠CDM.
∵CD⊥AB,BM⊥AC,
∴∠ABM=90° - ∠A=∠ACD.
在△DBN和△DCM中,
{∠BDN=∠CDM,
BD=CD,
∠DBN=∠DCM,
}
∴△DBN≌△DCM.
(2)过点D作DF⊥MN于点F.
由
(1),得△DBN≌△DCM,
∴DN=DM.
∵DF⊥MN,
∴NF=MF.
又
∵DN⊥DM,即∠MDN=90°,
∴易得DF=FN.
∵E是CD的中点,
∴DE=CE.
在△DEF和△CEM中,
{∠DFE=∠CME=90°,
∠DEF=∠CEM,
DE=CE,
}
∴△DEF≌△CEM.
∴FE=ME,DF=CM.
∵DF=FN=NE - FE=NE - ME,
∴NE - ME=CM.

[变式] (1) 如图①,P为等边三角形ABC外一点,连接PB、PA、PC,$\angle BPC = 120^{\circ}$。试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系,并证明你的猜想。
(2) 如图②,P为等边三角形ABC内一点,D为等边三角形ABC外一点,连接PA、PD、PC、AD、BD、CD,$\angle APD = 120^{\circ}$。求证：$PA + PD + PC ＞ BD$。

答案：

(1)AP=BP+PC.
如图①,延长BP至点E,使PE=PC,连接CE.
∵∠BPC=120°,
∴∠CPE=60°.
∵PE=PC,
∴△CPE为等边三角形,
∴CP=PE=CE,∠PCE=60°.
∵△ABC为等边三角形,
∴AC=BC,∠BCA=60°.
∴∠ACB=∠PCE.
∴∠ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP,即∠ACP=∠BCE.
∴△ACP≌△BCE.
∴AP=BE.
∵BE=BP+PE,
∴AP=BP+PC.
(2)如图②,以AD为边,在△ABD外作等边三角形AB'D,则点P在等边三角形AB'D外,连接PB'、CB'.
∵∠APD=120°,
∴由
(1),得PB'=PA+PD.
在△PB'C中,PB'+PC＞CB',
∴PA+PD+PC＞CB'.
∵△AB'D、△ABC为等边三角形,
∴AC=BC,AB'=AD,∠DAB'=∠BAC=60°.
∴∠DAB'+∠CAD=∠BAC+∠CAD,即∠CAB'=∠BAD.
∴△AB'C≌△ADB.
∴CB'=BD.
∴PA+PD+PC＞BD.

1. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = BC$,DE垂直平分BC,CD平分$\angle ACB$,则$\angle B$的度数为(D)
A.$25^{\circ}$
B.$30^{\circ}$
C.$35^{\circ}$
D.$36^{\circ}$

答案： D

2. 如图,$AB = AC$,$AD = AE$,$BD = CE$,BD与CE相交于点O,与$\angle CAB$(不包括$\angle CAB$)一定相等的角有(C)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： C

3. 等腰三角形的周长为20 cm,其中一边长为6 cm,则该等腰三角形的底边长为(B)
A.6 cm或7 cm
B.6 cm或8 cm
C.7 cm或8 cm
D.6 cm或14 cm

答案： B

4. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$\angle A = 120^{\circ}$,$BC = 6 cm$,AB的垂直平分线交BC于点M,交AB于点E,AC的垂直平分线交BC于点N,交AC于点F,则MN的长为(B)

A.1.5 cm
B.2 cm
C.2.5 cm
D.3 cm

答案： B