《2025年拔尖特训八年级数学上册苏科版》

10. 如图,在四边形ABCD中,$AB= AD,CB= CD$.若$AC= 8,BD= 6$,则四边形ABCD的面积为24.

答案： 24 解析:在△ABC和△ADC中,
∵AB=AD,AC=AC,BC=DC,
∴△ABC≌△ADC.
∴∠BAC=∠DAC.设AC、BD交于点O.
∵AO=AO,∠BAO=∠DAO,AB=AD,
∴△ABO≌△ADO.
∴∠AOB=∠AOD.
∵∠AOB+∠AOD=180°,
∴∠AOB=90°,即AC⊥BD.
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△CBD=1/2AO·BD+1/2OC·BD=1/2AC·BD=24.

11. 如图,若$AB= AC,BD= CD,∠A= 80^{\circ },∠BDC= 120^{\circ }$,则$∠B$的度数为____.

答案：
20° 解析:如图,连接AD并延长至点F.在△ABD和△ACD中,
{AB=AC,
AD=AD,
BD=CD,
∴△ABD≌△ACD.
∴∠B=∠C.
∵∠BDF=∠B+∠BAD,∠CDF=∠C+∠CAD,
∴∠BDF+∠CDF=∠B+∠BAD+∠C+∠CAD.
∴∠BDC=∠B+∠C+∠BAC.
∵∠BAC=80°,∠BDC=120°,
∴∠B=20°.

12. 如图,$AB= AD,BC= DC$,E、F分别是DC、BC的中点,连接AC.
(1) 求证:$∠B= ∠D$.
(2) 当$AE= 2$时,求AF的长.

答案：
(1)在△ABC和△ADC中,
{AB=AD,
BC=DC,
AC=AC,
∴△ABC≌△ADC.
∴∠B=∠D.
(2)
∵E、F分别是DC、BC的中点,BC=DC,
∴DE=BF.
在△ADE和△ABF中,{AD=AB,
∠D=∠B,
DE=BF,
∴△ADE≌△ABF.
∴AF=AE=2.

13. 如图,在$△ABC$中,$AC= BC$,D是AB上的一点,$AE⊥CD$于点E,$BF⊥CD$,交CD的延长线于点F.若$CE= BF,AE= BF+EF$.试判断直线AC与BC的位置关系,并说明理由.

答案： AC⊥BC.
理由:
∵AE⊥CD,BF⊥CD,
∴∠AEC=∠F=90°.
∴∠CAE+∠ACE=90°.
∵CF=CE+EF,CE=BF,
∴CF=BF+EF.
∵AE=BF+EF,
∴AE=CF.
又
∵AC=CB,
∴△ACE≌△CBF.
∴∠CAE=∠BCF.
∴∠ACB=∠BCF+∠ACE=∠CAE+∠ACE=90°.
∴AC⊥BC.

14. 如图,在“$3×3$”的正方形网格中,$△ABC$的顶点都在小正方形的顶点上,像$△ABC$这样顶点均在格点上的三角形叫格点三角形.在图中画与$△ABC$有一条公共边且全等的格点三角形,这样的格点三角形最多可以画出____个.

答案：
4 解析:如图,以AB为公共边的格点三角形有3个,以BC为公共边的格点三角形有0个,以AC为公共边的格点三角形有1个,
∴共有3+0+1=4(个).

15. 如图,在四边形ABCD中,$AD= BC= 8,AB= CD,BD= 12$.点E从点D出发,以每秒1个单位长度的速度沿DA向点A匀速移动;点F从点C出发,以每秒3个单位长度的速度沿$C→B→C$匀速移动;点G从点B出发,沿BD向点D匀速移动.三个点同时出发,当有一个点到达终点时,其余两点也随之停止移动.设移动时间为t秒.
(1) 求证:$AD// BC$.
(2) 在移动过程中,小明发现有$△DEG与△BFG$全等的情况出现,请你探究这样的情况会出现几次,并分别求出此时t的值和点G的移动距离(BG的长).

答案：
(1)在△ABD和△CDB中,
∵AD=CB,AB=CD,BD=DB,
∴△ABD≌△CDB.
∴∠ADB=∠CBD.
∴AD// BC.
(2)由题意,得DE=t,点F沿C→B移动时,BF=8 - 3t,点F沿B→C移动时,BF=3t - 8.
当△DEG≌△BFG时,DE=BF,DG=BG=1/2BD=6,
∴t=8 - 3t或t=3t - 8,解得t=2或t=4.
当△DEG≌△BGF时,DE=BG,DG=BF,
∴DE+BF=BG+DG=BD.
∴t+(3t - 8)=12或t+(8 - 3t)=12,解得t=5或t=-2(不合题意,舍去).
当t=5时,BG=t=5.
综上所述,△DEG与△BFG全等的情况会出现3次,此时t=2,BG=6或t=4,BG=6或t=5,BG=5.