《2025年拔尖特训八年级数学上册苏科版》

1. 如图,在$\triangle ABC$中,边$AB的垂直平分线DE分别与AB$、$AC交于点D$、$E$,边$BC的垂直平分线FG分别与BC$、$AC交于点F$、$G$。若$\triangle BEG的周长为16$,且$GE = 1$,则$AC$的长为(C)
A.$16$
B.$15$
C.$14$
D.$13$

答案： 1.C　解析:
∵DE是边AB的垂直平分线,
∴EB=EA.
∵FG是边BC 的垂直平分线,
∴GB=GC.
∵△BEG的周长为16,
∴GB+GE+EB=16.
∴GC+GE+EA=16.
∴AC+GE+GE=16.
∵GE=1,
∴AC=16−2=14.

2. 如图,$\triangle ABC的面积为14$,$AB = AC$,$BC = 4$,$AC的垂直平分线EF分别交边AB$、$AC于点E$、$F$。若$D为边BC$的中点,$P为线段EF$上一动点,则$\triangle PCD$周长的最小值为9。

答案： 9

3. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC = 80^{\circ}$,$MP$、$NQ分别垂直平分AB$、$AC$。
(1)求$\angle PAQ$的度数。
(2)若$\triangle APQ的周长为12$,$BC的长为8$,求$PQ$的长。

答案：
(1)设∠PAQ=x,∠CAP=y,∠BAQ=z.
∵MP、NQ分别垂直平分AB、AC,
∴AP=PB,AQ=CQ.
∴∠B=∠BAP=x+z,∠C=∠CAQ=x+y.
∵∠BAC=80°,
∴∠B+∠C=100°.
∴x+y+z=80°,x+z+x+y=100°.
∴x=20°.
∴∠PAQ=20°.
(2)
∵△APQ的周长为12,
∴AQ+PQ+AP=12.
∵AQ=CQ,AP=PB,
∴CQ+PQ+PB=12,即BC+2PQ=12.
∵BC=8,
∴PQ=2.

4. 如图,若线段$AB$、$DE的垂直平分线交于点C$,且$\angle ABC = \angle EDC = 72^{\circ}$,$\angle AEB = 92^{\circ}$,求$\angle EBD$的度数。

答案： 连接CE.
∵线段AB、DE的垂直平分线交于点C,
∴CA=CB,CD=CE.
∴∠BAC=∠ABC=72°,∠DEC=∠EDC=72°.
∴∠ACB=∠DCE.
∴∠ACE=∠BCD.在△BCD和△ACE中,{CB=CA,∠BCD=∠ACE,CD=CE,
∴△BCD≌△ACE.
∴∠CBD=∠CAE=72°+∠BAE.
∵∠AEB=92°,
∴∠ABE=180°−∠AEB−∠BAE=180°−92°−∠BAE=88°−∠BAE.
∴∠EBD=360°−∠CBD−∠ABC−∠ABE=360°−(72°+∠BAE)−72°−(88°−∠BAE)=128°

5. 如图①,射线$BD交\triangle ABC的外角\angle ACF的平分线CE于点P$,$\angle A = 78^{\circ}$,$\angle BPC = 39^{\circ}$,$BC = 7$,$AB = 4$。
(1)求证：$BD平分\angle ABC$。
(2)如图②,$AC的垂直平分线交BD于点Q$,交$AC于点G$,$QM \perp BC于点M$,求$MC$的长。

答案：
(1)
∵∠ACF=∠A+∠ABF,∠ECF=∠BPC+∠DBF,
∴∠ABF=∠ACF−78°,∠DBF=∠ECF−39°.
∵CE平分∠ACF,
∴∠ACF=2∠ECF.
∴∠ABF=2∠ECF−78°=2(∠ECF−39°)=2∠DBF.
∴BD平分∠ABC.
(2)如图,连接AQ、CQ,过点Q作QN⊥BA,交BA的延长线于点N.
∵QG垂直平分AC，
∴AQ=CQ.
∵BD平分∠ABC,QM⊥BC,QN⊥BA,
∴QM=QN.
∴Rt△QNA≌Rt△QMC.
∴NA=MC.
∵QN=QM,BQ=BQ,
∴Rt△QNB≌Rt△QMB.
∴BN=BM.
∴BC=BM+MC=BN+MC=AB+NA+MC.
∴7=4+2MC.
∴MC=1.5.