《2025年拔尖特训八年级数学上册苏科版》

1. 如图,C是线段AB上一点,$∠DCE= ∠A= ∠B$,$CD= CE$。试猜想AB、AD、BE之间的数量关系,并证明。

答案： AB=AD+BE.
∵∠DCE=∠A,
∴∠D+∠ACD=∠ACD+∠BCE.
∴∠D=∠BCE.
在△ACD和△BEC中,
{
∠A=∠B,
∠D=∠BCE,
CD=EC
}
∴△ACD≌△BEC.
∴AD=BC,AC=BE.
∴BC+AC=AD+BE,即AB=AD+BE.

2. (1)如图①,点C在直线MN上,$∠ACB= 90^{\circ }$,$AC= BC$,$BE⊥MN$,$AD⊥MN$,垂足分别为E、D,连接AB。图中哪条线段与AD相等？请说明理由。
(2)在(1)的条件下,直接写出线段DE、AD、BE之间的数量关系。
(3)在(1)的条件下,当直线MN绕点C旋转到图②中的位置时,DE、AD、BE具有怎样的数量关系？请说明理由。

答案：
(1)AD=CE.
理由:
∵AD⊥MN,BE⊥MN,
∴∠ADC=∠BEC=90°.
∴∠DAC+∠ACD=90°.
∵∠ACB=90°,
∴∠ACD+∠BCE=90°.
∴∠DAC=∠BCE.
又
∵∠ADC=∠BEC,AC=BC,
∴△ADC≌△CEB.
∴AD=CE.
(2)DE+BE=AD.
(3)DE=AD+BE.
理由:
∵BE⊥MN,AD⊥MN,
∴∠BEC=∠ADC=90°.
∴∠EBC+∠ECB=90°.
∵∠ACB=90°,
∴∠ECB+∠ACD=90°.
∴∠ACD=∠EBC.
又
∵∠ADC=∠BEC,AC=BC,
∴△ADC≌△CEB.
∴AD=CE,CD=BE.
∵DE=CD+CE,
∴DE=AD+BE.

3. 如图,C是AB的中点,$CD// BE$,且$CD= BE$。
(1)求证：$△ACD\cong △CBE$。
(2)若$∠A= 87^{\circ }$,$∠D= 32^{\circ }$,求$∠B$的度数。

答案：
(1)
∵C是AB的中点，
∴AC=CB.
∵CD//BE,
∴∠ACD=∠B.
在△ACD和△CBE中,
{
AC=CB,
∠ACD=∠B,
CD=BE
}
∴△ACD≌△CBE.
(2)由
(1),知∠ACD=∠B.
∵∠A=87°,∠D=32°,
∴∠ACD=180°−∠A−∠D=180°−87°−32°=61°.
∴∠B=61°.

4. 如图①,$AB⊥BD$,$DE⊥BD$,C是BD上一点,连接AC、CE,$BC= DE$,$CD= AB$。
(1)试判断AC与CE的位置关系,并说明理由。
(2)如图②,若把$△CDE$沿直线DB向左平移,使$△CDE$的较小的锐角顶点与点B重合,此时AC与BE互相垂直吗？请说明理由。

答案：
(1)AC⊥CE.
理由:
∵AB⊥BD,DE⊥BD,
∴∠B=∠D=90°.
在△ABC和△CDE中,
{
AB=CD,
∠B=∠D,
BC=DE
}
∴△ABC≌△CDE.
∴∠A=∠DCE.
∵∠A+∠ACB=90°,
∴∠DCE+∠ACB=90°.
∵∠DCE+∠ACB+∠ACE=180°,
∴∠ACE=90°.
∴AC⊥CE.
(2)AC⊥BE.
理由:记题图②中AC与BE的交点为F.
由
(1),知△ABC≌△BDE,
∴∠A=∠EBD.
∵∠A+∠ACB=90°,
∴∠EBD+∠ACB=90°.
∴∠BFC=90°.
∴AC⊥BE.