《2025年拔尖特训八年级数学上册苏科版》

13. 用四舍五入法,按要求对下列各数取近似值:
(1)38063(精确到千位).
(2)0.4030(精确到百分位).
(3)0.02866(精确到0.0001).
(4)3.5486(精确到十分位).

答案： （1）3.8×10⁴.
（2）0.40.
（3）0.0287.
（4）3.5.

14. 汽车工人小王加工生产了两根轴,当他把轴交给质检员验收时,质检员说:“不合格,作废!”小王不服气地说:“图纸要求轴长精确到2.80m,一根为2.76m,另一根为2.82m,怎么不合格?”
(1)图纸要求精确到2.80m,原轴的长度范围是多少?
(2)你认为是小王加工的轴不合格,还是质检员故意刁难?请说明理由.

答案： （1）设原轴的长度为a，则2.795m≤a＜2.805m.
（2）小王加工的轴不合格.
理由：由（1）知，原轴的长度范围是2.795m≤a＜2.805m，
∴一根为2.76m，另一根为2.82m的轴都不符合要求，即小王加工的轴不合格.

15. 我们把非负实数x“四舍五入”到个位的值记为《x》,即当n为非负整数时,若$n-\frac {1}{2}≤x＜n+\frac {1}{2}$,则《x》= n.例如《0.67》= 1,《2.49》= 2.有下列结论:①《2x》= 2《x》;②当m为非负整数时,《m+2x》= m+《2x》;③满足《x》= $\frac {3}{2}x$的非负实数x只有两个.其中,正确的是____②③(填序号).

答案： ②③ 解析：①当x=0.67时，《2x》=《1.34》=1，而2《x》=2×1=2，左边≠右边.故①不成立.②注意到m、x都是非负数，令左边=《m+2x》=n，则n-$\frac{1}{2}$≤m+2x＜n+$\frac{1}{2}$（n≥m），则(n-m)-$\frac{1}{2}$≤2x＜(n-m)+$\frac{1}{2}$，
∴《2x》=n-m.
∴m+《2x》=n=左边，即左边=右边.故②成立.③令n-$\frac{1}{2}$≤x＜n+$\frac{1}{2}$（*），则《x》=n.又
∵《x》=$\frac{3}{2}$x，故n=$\frac{3}{2}$x，
∴将n=$\frac{3}{2}$x代入（*）式，得$\frac{3}{2}$x-$\frac{1}{2}$≤x＜$\frac{3}{2}$x+$\frac{1}{2}$，解得-1＜x≤1.
∴-$\frac{3}{2}$＜$\frac{3}{2}$x≤$\frac{3}{2}$.又由《x》=$\frac{3}{2}$x知，$\frac{3}{2}$x为整数，
∴$\frac{3}{2}$x=0或1（非负整数），即x=0或$\frac{2}{3}$.
∴满足《x》=$\frac{3}{2}$x的非负实数x只有两个.故③成立.故答案为②③.

16. 我们把由四舍五入法对非负有理数x精确到个位的值记为＜x＞.如:＜0＞= ＜0.48＞= 0,＜0.64＞= ＜1.493＞= 1,＜2＞= 2,＜2.5＞= ＜3.12＞= 3,….
解决下列问题:
(1)填空:
①若＜x＞= 6,则x的取值范围是5.5≤x＜6.5.
②若＜x＞= $\frac {4}{3}x$,则x的值是0或$\frac{3}{4}$或$\frac{3}{2}$.
(2)若m为正整数,求证:＜x+m＞= ＜x＞+m恒成立.
（2）设x=n+a，其中n为x的整数部分（n为非负整数），a为x的小数部分（0≤a＜1），分两种情况讨论：
①当0≤a＜$\frac{1}{2}$时，有＜x＞=n.
∵x+m=n+m+a，这时n+m为x+m的整数部分，a为x+m的小数部分，
∴＜x+m＞=n+m.
又
∵＜x＞+m=n+m，
∴＜x+m＞=＜x＞+m.
②当$\frac{1}{2}$≤a＜1时，有＜x＞=n+1.
∵x+m=n+m+a，这时n+m为x+m的整数部分，a为x+m的小数部分，
∴＜x+m＞=n+m+1.
又
∵＜x＞+m=n+1+m=n+m+1，
∴＜x+m＞=＜x＞+m.
综上所述，＜x+m＞=＜x＞+m恒成立.

答案： （1）①5.5≤x＜6.5.
②0或$\frac{3}{4}$或$\frac{3}{2}$.
（2）设x=n+a，其中n为x的整数部分（n为非负整数），a为x的小数部分（0≤a＜1），分两种情况讨论：
①当0≤a＜$\frac{1}{2}$时，有＜x＞=n.
∵x+m=n+m+a，这时n+m为x+m的整数部分，a为x+m的小数部分，
∴＜x+m＞=n+m.
又
∵＜x＞+m=n+m，
∴＜x+m＞=＜x＞+m.
②当$\frac{1}{2}$≤a＜1时，有＜x＞=n+1.
∵x+m=n+m+a，这时n+m为x+m的整数部分，a为x+m的小数部分，
∴＜x+m＞=n+m+1.
又
∵＜x＞+m=n+1+m=n+m+1，
∴＜x+m＞=＜x＞+m.
综上所述，＜x+m＞=＜x＞+m恒成立.