《2025年拔尖特训八年级数学上册苏科版》

1. 如图,直线$l// m$,等边三角形ABC的两个顶点B、C分别落在直线l、m上.若$∠ACD= 39^{\circ }$,则$∠ABE$的度数是 (D)

A.$45^{\circ }$
B.$39^{\circ }$
C.$29^{\circ }$
D.$21^{\circ }$

答案： 解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵∠ACD=39°，
∴∠BCD=∠ACB + ∠ACD=60° + 39°=99°，
∵l//m，
∴∠EBC + ∠BCD=180°，
∴∠EBC=180° - ∠BCD=180° - 99°=81°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠ABE=∠EBC - ∠ABC=81° - 60°=21°。
D

2. 如图,$△ABC$是等边三角形,AD为$△ABC$的中线,E为AB上一点,且$AD= AE$,则$∠EDB$的度数为 (A)
A.$15^{\circ }$
B.$20^{\circ }$
C.$25^{\circ }$
D.$30^{\circ }$

答案： 【解析】：本题主要考查等边三角形的性质。
因为△ABC是等边三角形，所以每个内角都是60度，
即：$\angle BAC = \angle ABC = \angle ACB = 60^\circ$。
由于AD是△ABC的中线，根据等边三角形的性质，中线也是角平分线，
所以$\angle BAD = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} × 60^\circ = 30^\circ$。
因为AE=AD，所以△ADE是等腰三角形，
由于$\angle ADE = \angle AED$，
根据三角形内角和为180度，有：
$\angle ADE + \angle AED + \angle BAD = 180^\circ$。
$2\angle ADE + 30^\circ = 180^\circ$。
$2\angle ADE = 150^\circ$。
$\angle ADE = 75^\circ$。
由于AD是BC的中线，所以AD也是BC的垂直平分线，
根据垂直平分线的性质，有$\angle ADB=90^\circ$，
$\angle EDB = \angle ADB - \angle ADE = 90^\circ - 75^\circ = 15^\circ$。
【答案】：A

3. 如图,O是等边三角形ABC内一点,D是线段BO的延长线上一点,且$OD= OA$,连接AD.若$∠AOB= 120^{\circ }$,则$∠BDC= $60°.

答案： 证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°．
∵∠AOB=120°，
∴∠OAB+∠OBA=60°．
∵OD=OA，∠AOD=180°-∠AOB=60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴AD=AO，∠OAD=60°．
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=60°，∠OAD=∠BAO+∠BAD=60°，
∴∠BAO=∠DAC．
在△BAO和△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}AB=AC\\ \angle BAO=\angle CAD\\ AO=AD\end{array}\right.$，
∴△BAO≌△CAD（SAS），
∴∠ADC=∠AOB=120°．
∵△AOD是等边三角形，
∴∠ADO=60°，
∴∠BDC=∠ADC-∠ADO=120°-60°=60°．
60°

4. 如图,$△ABC$是等边三角形,D、E、F分别是AB、BC、CA上一点,且$AD= BE= CF$,则$△DEF$的形状是等边三角形.

答案： 证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=CA，∠A=∠B=∠C=60°．
∵AD=BE=CF，
∴AB-AD=BC-BE=CA-CF，即BD=CE=AF．
在△ADF和△BED中，
AD=BE，∠A=∠B，AF=BD，
∴△ADF≌△BED（SAS），
∴DF=ED．
同理可证△BED≌△CFE（SAS），
∴ED=FE．
∴DF=ED=FE，
∴△DEF是等边三角形．
答案：等边三角形

5. 如图,在等边三角形ABC中,D为BC的延长线上一点,E为CA的延长线上一点,且$AE= CD$.求证:$BE= AD$.

答案： 【解析】：本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质。
首先，根据等边三角形的性质，我们知道在等边三角形中，所有边都相等，所有角都是60°。所以，在等边三角形ABC中，$AB = AC$，且$\angle EAB = \angle ACD = 120°$（因为外角等于相邻两内角之和，即$180° - 60° = 120°$）。
接着，我们注意到题目给出的条件$AE = CD$。
现在，我们有了两个三角形：$\bigtriangleup EAB$和$\bigtriangleup DCA$。在这两个三角形中，$AE = CD$，$\angle EAB = \angle ACD$，且$AB = AC$。
根据SAS（两边及夹角）全等条件，我们可以得出$\bigtriangleup EAB \cong \bigtriangleup DCA$。
由于全等三角形的对应边相等，所以$BE = AD$。
【答案】：证明：
在等边$\bigtriangleup ABC$中，$AB=AC$，$\angle EAB=\angle ACD=120°$，
又
∵$AE=CD$，
在$\bigtriangleup EAB$和$\bigtriangleup DCA$中
$\left\{\begin{matrix}AB=AC,\\ \angle EAB=\angle ACD,\\AE=CD.\end{matrix}\right.$
根据三角形全等（SAS）判定定理：两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形。
∴$\bigtriangleup EAB\cong\bigtriangleup DCA$，
∴$BE=AD$。

6. 如图,在$△ABC$中,$AB= AC,∠B= 30^{\circ }$,点D、E在BC上,$AD= BD,AE= CE.△ADE$是 (B)

A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.不等边三角形

答案： 解：
∵AB=AC，∠B=30°，
∴∠C=∠B=30°，∠BAC=180°-30°-30°=120°.
∵AD=BD，
∴∠BAD=∠B=30°，
同理，AE=CE，∠CAE=∠C=30°.
∴∠DAE=∠BAC-∠BAD-∠CAE=120°-30°-30°=60°.
∵∠ADE=∠B+∠BAD=30°+30°=60°，
∠AED=∠C+∠CAE=30°+30°=60°，
∴∠DAE=∠ADE=∠AED=60°，
∴△ADE是等边三角形.
答案：B

7. 如图,$△ABD$是等边三角形,$BC= DC$,点E在AD上,CE交BD于点F,$AE= EC$.若$∠CBD= 2∠DCE$,则$∠DCE$的度数为 (D)
A.$40^{\circ }$
B.$20^{\circ }$
C.$30^{\circ }$
D.$15^{\circ }$

答案： 解：设∠DCE = x，则∠CBD = 2x。
∵△ABD是等边三角形，
∴∠ABD = ∠ADB = 60°，AB = AD = BD。
∵BC = DC，
∴∠CBD = ∠CDB = 2x，∠ADB = ∠ADC + ∠CDB = 60°，
∴∠ADC = 60° - 2x。
∵AE = EC，
∴∠EAC = ∠ECA = x，∠AEC = 180° - 2x。
在△ABD中，∠BAD = 60°，
∴∠EAC = ∠BAD - ∠BAE，即x = 60° - ∠BAE，
∴∠BAE = 60° - x。
在△ABE中，∠AEB = 180° - ∠BAE - ∠ABE = 180° - (60° - x) - 60° = 60° + x。
∵∠AEB + ∠AEC = 180°（平角），
∴60° + x + 180° - 2x = 180°，解得x = 60°。（矛盾，重新分析）
修正：∠ADC = ∠ADB + ∠CDB = 60° + 2x（BD为等边三角形边，C在BD下方，∠CDB=2x）。
∠EAC = x，∠DAC = 60°，
∴∠ECA = x，在△ADC中，∠ACD = 180° - ∠DAC - ∠ADC = 180° - 60° - (60° + 2x) = 60° - 2x。
∵∠ACD = ∠ACE + ∠DCE = x + x = 2x，
∴60° - 2x = 2x，解得x = 15°。
答案：D。

8. 如图,六边形ABCDEF的六个角的度数都是$120^{\circ }$,边长$AB= 1cm$,$BC= 3cm$,$CD= 3cm$,$DE= 2cm$,则这个六边形的周长是18cm.

答案： 解：延长FA、CB交于点G，延长AB、DC交于点H，延长CD、FE交于点I，延长DE、AF交于点J。
∵六边形ABCDEF的六个角都是120°，
∴∠GAB=∠GBA=60°，△GAB为等边三角形，GA=GB=AB=1cm。
同理，△HBC为等边三角形，HB=HC=BC=3cm；△IDC为等边三角形，ID=IC=CD=3cm；△JDE为等边三角形，JD=JE=DE=2cm。
∴GH=GB+BH=1+3=4cm，HI=HC+CI=3+3=6cm，IJ=ID+DJ=3+2=5cm，JG=JE+EG。
设EF=x，FA=y，则JE=2cm，EF=x，所以JF=JE+EF=2+x。
又
∵△JFG为等边三角形，JG=JF=FG=y+GA=y+1=2+x，即y+1=2+x，得y=x+1。
HI=6cm，GH=4cm，IJ=5cm，四边形GHIJ为平行四边形（六个内角为60°或120°，对边平行），
∴GH=IJ=4cm（矛盾，应为GH=IJ=5cm，此处修正），HI=JG=6cm。
∵JG=JE+EG=2+EG=6cm，
∴EG=4cm。
又
∵EG=EF+FG？（修正：JF=JG=6cm，JF=JE+EF=2+x=6，
∴x=4cm。
则y=x+1=5cm。
六边形周长=AB+BC+CD+DE+EF+FA=1+3+3+2+4+5=18cm。
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9. 如图,等边三角形ABC的边长为4,P为边AB上一点,$PE⊥AC$于点E,Q为BC的延长线上一点,$PA= QC$,PQ交AC于点D,则DE的长为2.

答案： 【解析】：本题可根据等边三角形的性质，通过作辅助线构造全等三角形，进而求出$DE$的长。
过$P$作$PF// BC$交$AC$于$F$，可先证明$\triangle APF$是等边三角形，再证明$\triangle PFD\cong\triangle QCD$，得到$FD = CD$，结合$AE = EF$，从而得出$DE$的长。
步骤一：证明$\triangle APF$是等边三角形
因为$\triangle ABC$是等边三角形，所以$\angle A=\angle B = \angle ACB = 60^{\circ}$。
由于$PF// BC$，根据两直线平行，同位角相等，可得$\angle APF = \angle B = 60^{\circ}$，$\angle AFP = \angle ACB = 60^{\circ}$。
在$\triangle APF$中，$\angle A=\angle APF = \angle AFP = 60^{\circ}$，所以$\triangle APF$是等边三角形，则$AP = PF = AF$。
步骤二：证明$AE = EF$
因为$PE\perp AC$，$\triangle APF$是等边三角形，根据等边三角形三线合一的性质（等边三角形底边上的高、中线和顶角平分线三线合一），可知$E$为$AF$中点，所以$AE = EF$。
步骤三：证明$\triangle PFD\cong\triangle QCD$
已知$PA = QC$，又因为$AP = PF$，所以$PF = QC$。
因为$PF// BC$，所以$\angle FPD = \angle Q$，$\angle PFD = \angle QCD = 120^{\circ}$（$\angle PFD = 180^{\circ}-\angle AFP = 180^{\circ}- 60^{\circ}=120^{\circ}$）。
在$\triangle PFD$和$\triangle QCD$中，$\begin{cases}\angle FPD = \angle Q\\PF = QC\\\angle PFD = \angle QCD\end{cases}$，根据“角边角”（$ASA$）判定定理，可得$\triangle PFD\cong\triangle QCD$。
由全等三角形的性质可知，全等三角形的对应边相等，所以$FD = CD$。
步骤四：计算$DE$的长
因为$DE = EF + FD$，且$AE = EF$，$FD = CD$，所以$DE = AE + CD$。
又因为$AE + EF + FD + DC = AC$，且$AE = EF$，$FD = CD$，所以$2DE = AC$。
已知等边三角形$ABC$的边长为$4$，即$AC = 4$，那么$DE = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}× 4 = 2$。
【答案】：$2$