《2025年拔尖特训八年级数学上册苏科版》

11. 如图,$\triangle ABC\cong\triangle DBE$,点$D在边AC$上,$BC与DE交于点P$,已知$\angle ABE = 162^{\circ}$,$\angle DBC = 30^{\circ}$,$AD = DC = 2.5$,$BC = 4$. 求：
(1)$\angle CBE$的度数.
(2)$\triangle CDP与\triangle BEP$的周长和.

答案：
(1)
∵ ∠ABE=162°,∠DBC=30°，
∴ ∠ABD+∠CBE=132°.
∵ △ABC≌△DBE，
∴ ∠ABC=∠DBE.
∴ ∠ABC - ∠DBC=∠DBE - ∠DBC.
∴ ∠ABD=∠CBE=132°÷2=66°，即∠CBE的度数为66°.
(2)
∵ △ABC≌△DBE，
∴ DE=AC=AD+DC=5，BE=BC=4.
∴ △CDP与△BEP的周长和=DC+DP+PC+BP+PE+BE=DC+DE+BC+BE=2.5+5+4+4=15.5.

12. 如图,$A$、$E$、$C$三点在同一条直线上,且$\triangle ABC\cong\triangle DAE$.
(1)线段$DE$、$CE$、$BC$有怎样的数量关系？请说明理由.
(2)当$\triangle ADE$满足什么条件时,$DE// BC$？请给予证明.
]

答案：
(1) DE=CE+BC.
理由:
∵ △ABC≌△DAE，
∴ BC=AE,AC=DE.
∵ A、E、C三点在同一条直线上，
∴ AC=CE+AE.
∴ DE=CE+BC.
(2) 当△ADE满足∠AED=90°时，DE//BC.
∵ △ABC≌△DAE，
∴ ∠C=∠AED.
∵ ∠AED=90°,A、E、C三点在同一条直线上，
∴ ∠AED=∠DEC=90°.
∴ ∠C=∠DEC.
∴ DE//BC.
∴ 当△ADE满足∠AED=90°时，DE//BC.

13. 如图,$\triangle AOB\cong\triangle ADC$,$\angle O= \angle D = 90^{\circ}$,记$\angle OAD= \alpha$,$\angle ABO= \beta$. 当$BC// OA$时,$\alpha与\beta$之间的数量关系为(B)
A.$\alpha=\beta$
B.$\alpha = 2\beta$
C.$\alpha+\beta = 90^{\circ}$
D.$\alpha+\beta = 180^{\circ}$

答案： B 解析:
∵ △AOB≌△ADC，
∴ AB=AC,∠BAO=∠CAD.
∴ 易得∠OAD=∠BAC=α.
∴ 在△ABC中，∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}$(180° - α).
∵ BC//OA，
∴ ∠OBC=180° - ∠O=180° - 90°=90°.
∴ β + $\frac{1}{2}$(180° - α)=90°.整理,得α=2β.

14. 如图①,在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$BC = 9\mathrm{cm}$,$AC = 12\mathrm{cm}$,$AB = 15\mathrm{cm}$,现有一动点$P$,从点$A$出发,沿着$A\to C\to B\to A$运动,回到点$A$时停止,速度为$3\mathrm{cm/s}$,设运动时间为$t\mathrm{s}$.
(1)如图①,当$t = $______时,$\triangle APC的面积等于\triangle ABC$面积的一半.
(2)如图②,在$\triangle DEF$中,$\angle E = 90^{\circ}$,$DE = 4\mathrm{cm}$,$DF = 5\mathrm{cm}$,$\angle D= \angle A$. 在$\triangle ABC$的边上,若另外有一个动点$Q$,与点$P同时从点A$出发,沿着$A\to B\to C\to A$运动,回到点$A$时停止. 在两点运动过程中的某一时刻,恰好有$\triangle APQ\cong\triangle DEF$,求点$Q$的运动速度.

答案：

(1)$\frac{11}{2}$或$\frac{19}{2}$.
(2)
∵ △APQ≌△DEF，
∴ AP=DE=4 cm，AQ=DF=5 cm.
① 如图①,点P在AC上.
∴ 点Q的运动速度为5÷(4÷3)=$\frac{15}{4}$(cm/s).
② 如图②,点P在AB上.
此时点P的运动路程为9+12+15 - 4=32(cm) ,
点Q的运动路程为15+12+9 - 5=31(cm).
∴ 点Q的运动速度为31÷(32÷3)=$\frac{93}{32}$(cm/s).
综上所述，点Q的运动速度为$\frac{15}{4}$cm/s 或$\frac{93}{32}$cm/s.