《2025年拔尖特训八年级数学上册苏科版》

典例1 若a是$(-4)^{2}$的平方根,b的算术平方根是2,则代数式$a+b$的值为 (C)
A.8
B.0
C.8或0
D.4或-4
提示
先根据平方根和算术平方根的性质求得a、b的值,然后根据有理数的加法法则求解即可.

答案： C

[变式]已知实数a、b满足$|a-3|+|b+2|+\sqrt {1-a}+a= 3$,则$a+b$的值为 (A)
A.-1
B.2
C.3
D.5

答案： A 解析:由题意,得1-a≥0,解得a≤1.
∴a-3＜0.
∴原等式为-a+3+|b+2|+√(1-a)=3-a.整理,得|b+2|+√(1-a)=0.
∴b+2=0,1-a=0,解得b=-2,a=1.
∴a+b=-1.

典例2 若一个正数x的平方根是$\sqrt [3]{17-a}和\sqrt [3]{3a-1}$,则$\sqrt [3]{a}$的值为____-2.

答案： -2 解析:
∵一个正数x的平方根是√[3](17-a)和√[3](3a-1),
∴√[3](17-a)+√[3](3a-1)=0.
∴17-a+3a-1=0.
∴a=-8.
∴√[3](a)=√[3](-8)=-2.

[变式]已知x为有理数,$\sqrt [3]{x-3}-\sqrt [3]{2x+1}= 0$,求$x^{2}+x-3$的平方根.

答案：
∵√[3](x-3)-√[3](2x+1)=0,
∴x-3=2x+1,解得x=-4.
∴x²+x-3=16-4-3=9.
∴x²+x-3的平方根为±3.

典例3 把下列各数填入相应的括号内:-1、$\sqrt {3}$、π、-3.14、$\sqrt {9}$、$\sqrt {6}-\sqrt {2}$、$-\frac {\sqrt {2}}{2}$、$0.\dot {7}$.
(1)有理数:…$\{ \} $.
(2)无理数:…$\{ \} $.
(3)正实数:…$\{ \} $.
(4)负实数:…$\{ \} $.

答案：
(1)-1、-3.14、√9、$0.\dot{7}.(2)√3、$π、√6-√2、-√2/2.
(3)√3、π、√9、√6-√2、$0.\dot{7}.(4)-1、$-3.14、-√2/2.

[变式]在实数3、$-\sqrt {35}$、$\frac {23}{7}$、$\sqrt {0.15}$、$\sqrt {10}$、$\sqrt [3]{243}$、0.2020020002…(相邻的两个“2”之间依次多一个“0”)、$\sqrt [3]{-125}$中,选择合适的数填入相应的括号内:
(1)有理数:…$\{ \} $.
(2)无理数:…$\{ \} $.
(3)正实数:…$\{ \} $.
(4)负实数:…$\{ \} $.
(5)分数:…$\{ \} $.
(6)整数:…$\{ \} $.

答案：
(1)3、23/7、√[3](-125).
(2)-√35、√0.15、√10、√[3]
(243)、0.2020020002…(相邻的两个"2"之间依次多一个"0").
(3)3、23/7、√0.15、√10、√[3]
(243)、0.2020020002…(相邻的两个"2"之间依次多一个"0").
(4)-√35、√[3](-125).
(5)23/7.
(6)3、√[3](-125).

典例4 有一块面积为$300m^{2}$的长方形土地,若它的长与宽的比为$6:1$,则宽在 (D)
A.5m和6m之间
B.6m和7m之间
C.8m和9m之间
D.7m和8m之间
提示
设宽为$xm(x＞0)$,则长为$6xm$.根据题意,可得$6x\cdot x= 300$,从而可得宽为$\sqrt {50}m$,然后估算出$\sqrt {50}$所在的范围,即可解答.

答案： D

(1)$\sqrt {2}+1$的整数部分为2,$\sqrt {2}+1$的小数部分可以表示为√2-1.
(2)已知$\sqrt {3}+2$的小数部分是a,$7-\sqrt {3}$的小数部分是b,求$a+b$的值.
∵√1＜√3＜√4,
∴1＜√3＜2.
∴3＜√3+2＜4.
∴√3+2的整数部分是3,小数部分是√3+2-3=√3-1.
∵√3+2的小数部分是a,
∴a=√3-1.
∵√1＜√3＜√4,
∴1＜√3＜2.
∴-2＜-√3＜-1.
∴5＜7-√3＜6.
∴7-√3的整数部分是5,小数部分是7-√3-5=2-√3.
∵7-√3的小数部分是b,
∴b=2-√3.
∴a+b=√3-1+2-√3=1.

答案：
(1)2;√2-1.
解析:
∵√1＜√2＜√4,
∴1＜√2＜2.
∴2＜√2+1＜3.
∴√2+1的整数部分为2,小数部分可以表示为√2+1-2=√2-1.
(2)
∵√1＜√3＜√4,
∴1＜√3＜2.
∴3＜√3+2＜4.
∴√3+2的整数部分是3,小数部分是√3+2-3=√3-1.
∵√3+2的小数部分是a,
∴a=√3-1.
∵√1＜√3＜√4,
∴1＜√3＜2.
∴-2＜-√3＜-1.
∴5＜7-√3＜6.
∴7-√3的整数部分是5,小数部分是7-√3-5=2-√3.
∵7-√3的小数部分是b,
∴b=2-√3.
∴a+b=√3-1+2-√3=1.