《2025年拔尖特训八年级数学上册苏科版》

1.如图,在$△ABC$中,$∠C= 90^{\circ }$,D是BC上的一点,且$BD= 2,DC= 3$,则$AB^{2}-AD^{2}$的值为(C)

A.4
B.9
C.16
D.25

答案： C

2.如图,在$△ABC$中,$AB= 20,AC= 15,BC= 7$,则点A到BC所在直线的距离是(C)
A.10
B.11
C.12
D.13

答案： C 解析：如图，过点A作$AD\perp BC$，交BC的延长线于点D.在$\text{Rt}\triangle ABD$与$\text{Rt}\triangle ACD$中，由勾股定理，得$AB^{2}-BD^{2}=AD^{2}=AC^{2}-CD^{2}$，即$20^{2}-(7 + CD)^{2}=15^{2}-CD^{2}$，$\therefore CD=9$.$\therefore AD=12$，即点A到BC所在直线的距离是12.

3.下列各组数中,是勾股数的为(C)
A.1、1、2
B.1.5、2、2.5
C.17、8、15
D.6、12、13

答案： C

4.将一根24 cm长的筷子置于底面圆直径为12 cm,高为5 cm的圆柱形水杯中,如图,设筷子露在水杯外面的长度为h cm,则h的取值范围是(B)
A.$h≤19$
B.$11≤h≤19$
C.$12≤h≤19$
D.$13≤h≤19$

答案： B

5.如图,在“$4×4$”的正方形网格中,$α+β$的度数为____.

答案： $45^{\circ}$

6.如图,正方形OABC的边OC落在数轴上,点O表示的数为0,点C表示的数为1,点P表示的数为-1,以点P为圆心,PB长为半径作圆弧与数轴交于点D,则点D表示的数为$\sqrt{5}-1$.

答案： $\sqrt{5}-1$

7.如图,货车车高$AC= 4m$,卸货时后面挡板AB被放下,点A落在地面的点$A_{1}$处.已知点A、B、C在一条直线上,$AC⊥A_{1}C$,测得$A_{1}C= 2m$,则BC的长为1.5m.

答案： 1.5 解析：由题意，得$AB=A_{1}B$，$\angle BCA_{1}=90^{\circ}$.设$BC=x\ \text{m}$，则$AB=A_{1}B=(4 - x)\ \text{m}$.在$\text{Rt}\triangle A_{1}BC$中，$A_{1}C^{2}+BC^{2}=A_{1}B^{2}$，即$2^{2}+x^{2}=(4 - x)^{2}$，解得$x=1.5$.$\therefore$ BC的长为1.5m.

8.如图,在网格中,每个小正方形的边长均为1,$△ABC和△CDE$的顶点都在网格线交点处,则$∠BAC+∠CDE$的度数为$45^{\circ}$.

答案： $45^{\circ}$ 解析：如图，连接AD.由勾股定理，得$AD^{2}=1^{2}+3^{2}=10$，$CD^{2}=1^{2}+3^{2}=10$，$AC^{2}=2^{2}+4^{2}=20$，$\therefore AD=CD$，$AD^{2}+CD^{2}=AC^{2}$.$\therefore \angle ADC=90^{\circ}$.$\therefore \angle DAC=\angle ACD=45^{\circ}$.$\because AB// DE$，$\therefore \angle BAD+\angle ADE=180^{\circ}$.$\therefore \angle BAC+\angle CDE=180^{\circ}-90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$.

9.如图,在$△ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ },AB= 5cm,BC= 3cm$.若点P从点A出发,以2 cm/s的速度沿$A→C→$答案讲解B向点B运动,设运动时间为$ts(t＞0).$
(1)在AC上是否存在点P,使得$PA= PB$?若存在,求出t的值；若不存在,请说明理由.
(2)若点P恰好在$△ABC$的角平分线上,请求出t的值.

答案： （1）存在.在$\triangle ABC$中，$\because \angle ACB=90^{\circ}$，$AB=5\ \text{cm}$，$BC=3\ \text{cm}$，$\therefore AC=4\ \text{cm}$.假设存在点P，使得$PA=PB$，则$PA=PB=2t\ \text{cm}$，$PC=(4 - 2t)\ \text{cm}$.在$\text{Rt}\triangle PCB$中，$PC^{2}+CB^{2}=PB^{2}$，即$(4 - 2t)^{2}+3^{2}=(2t)^{2}$，解得$t=\frac{25}{16}$.$\therefore$当$t=\frac{25}{16}$时，$PA=PB$.（2）①当点P在点C或点B处时，一定在$\triangle ABC$の角平分线上，此时$t=2$或$t=3.5$.②如图①，当点P在$\angle ABC$的平分线上，且在边AC上时，过点P作$PM\perp AB$于点M，此时$AP=2t\ \text{cm}$，$PC=PM=(4 - 2t)\ \text{cm}$.$\therefore \triangle APB$的面积$=\frac{1}{2}AB\cdot PM=\frac{1}{2}BC\cdot AP$.$\therefore AB\cdot PM=BC\cdot AP$，即$5(4 - 2t)=3× 2t$，解得$t=\frac{5}{4}$.③如图②，当点P在$\angle CAB$的平分线上，且在边BC上时，过点P作$PN\perp AB$于点N，此时$BP=(7 - 2t)\ \text{cm}$，$PN=PC=(2t - 4)\ \text{cm}$.$\because \triangle APB$的面积$=\frac{1}{2}AB\cdot PN=\frac{1}{2}AC\cdot BP$，$\therefore AB\cdot PN=AC\cdot BP$，即$5(2t - 4)=4(7 - 2t)$，解得$t=\frac{8}{3}$.综上所述，当t的值为2或3.5或$\frac{5}{4}$或$\frac{8}{3}$时，点P恰好在$\triangle ABC$的角平分线上.