《2025年拔尖特训八年级数学上册苏科版》

9. 等腰三角形ABC的底边BC的长为5cm,边AC上的中线BD把其分为周长差为3cm的两部分,求腰长.

答案：
∵BD为边AC上的中线，
∴AD=CD.①当(AB+AD)−(BC+CD)=3cm，即AB−BC=3cm时，
∵BC=5cm，
∴AB=5+3=8(cm).此时△ABC的三边长分别为8cm、8cm、5cm，符合三角形的三边关系.②当(BC+CD)−(AB+AD)=3cm，即BC−AB=3cm时，
∵BC=5cm，
∴AB=5−3=2(cm).此时△ABC的三边长分别为2cm、2cm、5cm，不符合三角形的三边关系.综上所述，腰长为8cm.

10. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,AB= 2BC,在直线BC或AC上取一点P,使得△PAB为等腰三角形,则符合条件的点P共有(B)
A.7个
B.6个
C.5个
D.4个

答案： B

11. 如图,在△ABC中,∠ABC= 40°. 若动点D在直线BC上,则当△ABD为等腰三角形时,∠ADB的度数为20°或40°或70°或100°.

答案： 20°或40°或70°或100°解析:如图①,当AD=AB时，∠ADB=∠ABC=40°.如图②,当AD=BD时,∠DAB=∠DBA=40°，
∴∠ADB=180°−2×40°=100°.如图③,当BD=AB,且△ABD是锐角三角形时,∠ADB=∠BAD=$\frac{1}{2}$(180°−∠ABC)=70°.如图④,当AB=BD,且△ABD是钝角三角形时,∠BAD=∠ADB=$\frac{1}{2}$∠ABC=20°.综上所述，∠ADB的度数为20°或40°或70°或100°.

12. 如果一条线段将一个三角形分成两个等腰三角形,那么这条线段被称为这个三角形的“好线”；如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形,那么这两条线段被称为这个三角形的“好好线”.
(1)如图①,在△ABC中,∠A= 36°,∠C= 72°,请你在这个三角形中画出它的一条“好线”,并标出所分得的等腰三角形顶角的度数.
(2)如图②,在△ABC中,AC= BC且∠C= 45°,请你在这个三角形中画出它的“好好线”(只需画出一种),并标出所分得的等腰三角形底角的度数.
(3)在△ABC中,∠C= 24°,AD和DE为△ABC的“好好线”,点D在边BC上,点E在边AB上,且AD= CD,BE= DE,请你根据题意画出示意图,并求∠B的度数.

答案：
(1)画法不唯一，如图①所示.
(2)画法不唯一，如图②所示.
(3)设∠B=x.①如图③,当DE=AD时,∠AED=∠DAE.
∵AD=CD,
∴∠CAD=∠C=24°.
∵BE=DE,
∴∠B=∠EDB=x.
∴∠AED=∠DAE=2x.
∴在△ABC中,24°×2+2x+x=180°,
∴x=44°.
∴∠B=44°.②如图④,当AE=AD时,∠AED=∠ADE.
∵AD=CD,
∴∠CAD=∠C=24°.
∴∠ADB=48°.
∵BE=DE,
∴∠B=∠EDB=x.
∴∠AED=∠ADE=2x.
∴∠ADB=2x+x=48°.
∴x=16°.
∴∠B=16°.③当EA=DE时,∠DAE=∠ADE.同理,可得∠AED=2x,∠CAD=24°.
∴∠DAE=∠ADE=$\frac{1}{2}$(180°−∠AED)=90°−x.此时∠CAB+∠C+∠B=90°−x+24°+24°+x≠180°，不合题意，舍去.综上所述,∠B的度数为44°或16°.