《2025年拔尖特训八年级数学上册苏科版》

10. 如图,在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在线段CB的延长线上,且$ED= EC$.若$△ABC$的边长为6,$AE= 2$,求CD的长.

答案： 解：过点E作EF//BC交AC于点F，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC=AC=6，
∵EF//BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=EF=AF=2，
∴BE=AB-AE=6-2=4，FC=AC-AF=6-2=4，
∵EF//BC，
∴∠EFC=180°-∠ACB=120°，∠DBE=180°-∠ABC=120°，
∴∠EFC=∠DBE，
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECD，
∵EF//BC，
∴∠FEC=∠ECD，
∴∠D=∠FEC，
在△DBE和△EFC中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠D=∠FEC\\ ∠DBE=∠EFC\\ BE=FC\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△EFC(AAS)，
∴DB=EF=2，
∵BC=6，
∴CD=DB+BC=2+6=8.

11. 如图,在等边三角形ABC中,点D、E分别在边BC、AC上,且$DE// AB$,过点E作$EF⊥DE$,交BC的延长线于点F.
(1) 求$∠F$的度数.
(2) 若$CD= 2$,求DF的长.

答案： 【解析】：本题主要考查等边三角形的性质以及平行线的性质。
（1）根据等边三角形的性质，我们知道$\angle B = 60^\circ$。由于$DE // AB$，根据平行线的性质，我们可以得出$\angle EDC = \angle B = 60^\circ$。又因为$EF \perp DE$，所以$\angle DEF = 90^\circ$。因此，我们可以计算出$\angle F = 180^\circ - \angle DEF - \angle EDC = 30^\circ$。
（2）由于$\angle ACB = 60^\circ$且$\angle EDC = 60^\circ$，所以三角形EDC是等边三角形。根据等边三角形的性质，我们知道$ED = DC = 2$。又因为$\angle DEF = 90^\circ$且$\angle F = 30^\circ$，根据$30^\circ-60^\circ-90^\circ$直角三角形的性质，我们可以得出$DF = 2DE = 4$。
【答案】：
(1) $\angle F = 30^\circ$；
(2) $DF = 4$。

12. 如图,等边三角形ABC的边长为6,$∠ABC$、$∠ACB$的平分线交于点D,过点D作$EF// BC$,分别交AB、AC于点E、F,则EF的长为____.

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答案： 【解析】：本题可根据等边三角形的性质、角平分线的性质以及平行线的性质，先证明$\triangle AEF$是等边三角形，再通过角平分线和平行线的性质得出$BE = DE$，$CF = DF$，进而求出$EF$的长度。
步骤一：求出$\triangle ABC$各角的度数
因为$\triangle ABC$是等边三角形，根据等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于$60^{\circ}$，所以$\angle A=\angle ABC = \angle ACB = 60^{\circ}$。
步骤二：证明$\triangle AEF$是等边三角形
由于$EF// BC$，根据两直线平行，同位角相等，可得$\angle AEF = \angle ABC = 60^{\circ}$，$\angle AFE = \angle ACB = 60^{\circ}$。
在$\triangle AEF$中，$\angle A = 60^{\circ}$，$\angle AEF = 60^{\circ}$，$\angle AFE = 60^{\circ}$，三个角都相等的三角形是等边三角形，所以$\triangle AEF$是等边三角形，则$AE = AF = EF$。
步骤三：根据角平分线和平行线的性质得到$BE = DE$，$CF = DF$
因为$BD$平分$\angle ABC$，所以$\angle EBD = \frac{1}{2}\angle ABC = \frac{1}{2}×60^{\circ}= 30^{\circ}$。
又因为$EF// BC$，根据两直线平行，内错角相等，可得$\angle EDB = \angle DBC = 30^{\circ}$。
在$\triangle EBD$中，$\angle EBD = \angle EDB = 30^{\circ}$，根据等角对等边，所以$BE = DE$。
同理，因为$CD$平分$\angle ACB$，可得$\angle FCD = \frac{1}{2}\angle ACB = 30^{\circ}$，又因为$EF// BC$，所以$\angle FDC = \angle DCB = 30^{\circ}$，在$\triangle FCD$中，$\angle FCD = \angle FDC = 30^{\circ}$，根据等角对等边，所以$CF = DF$。
步骤四：求出$EF$的长度
因为$AE + BE = AB = 6$，$AF + CF = AC = 6$，且$AE = AF = EF$，$BE = DE$，$CF = DF$，所以$EF + DE + DF = EF + BE + CF = AB = 6$，即$2EF = 6$，解得$EF = 4$。
【答案】：$4$。

13. 如图①,P、Q分别是等边三角形ABC的边AB、BC上的动点(端点除外),点P从顶点A出发,运动到终点B,点Q从顶点B同时出发,运动到终点C,且它们的运动速度相同,连接AQ、CP交于点M.
(1) 求证:$△ABQ\cong △CAP$.
(2) 当点P、Q分别在边AB、BC上运动时,$∠QMC$的度数变化吗? 若变化,请说明理由;若不变,请求出它的度数.
(3) 如图②,若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动,直线AQ、CP交于点M,则$∠QMC$的度数变化吗? 若变化,请说明理由;若不变,请求出它的度数.

答案： 【解析】：
(1) 本题考查等边三角形的性质以及全等三角形的判定。
由于$\bigtriangleup ABC$是等边三角形，
所以$AB = CA$，$\angle B = \angle CAP = 60^\circ$。
又因为点P、Q运动速度相同，
所以$AP = BQ$。
在$\bigtriangleup ABQ$与$\bigtriangleup CAP$中，
$AB = CA$，$\angle B = \angle CAP$，$AP = BQ$，
所以$\bigtriangleup ABQ \cong \bigtriangleup CAP(SAS)$。
(2) 本题考查全等三角形的性质以及三角形外角的性质。
由于$\bigtriangleup ABQ \cong \bigtriangleup CAP$，
所以$\angle BAQ = \angle ACP$。
在$\bigtriangleup ACM$中，
$\angle QMC = \angle ACP + \angle CAM$
$= \angle BAQ + \angle CAM$
$= \angle BAC$
$= 60^\circ$
所以，$\angle QMC$的度数不变，为$60^\circ$。
(3) 本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质。
当点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，
由于$\bigtriangleup ABC$是等边三角形，
所以$AB = CA$，$\angle B = \angle CAP = 60^\circ$。
又因为点P、Q运动速度相同，
所以$AP = BQ$。
在$\bigtriangleup ABQ$与$\bigtriangleup CAP$中，
$AB = CA$，$\angle B = \angle CAP$，$AP = BQ$，
所以$\bigtriangleup ABQ \cong \bigtriangleup CAP(SAS)$。
所以$\angle BAQ = \angle ACP$。
因为$\angle QMC = \angle BAQ + \angle APM$
$= \angle ACP + \angle APM$
而$\angle APM$与$\angle CPB$为对顶角，相等，
又因为$\angle BCP$与$\angle CAP$为同角，相等，
且$\angle BPC + \angle BCP + \angle PBC = 180^{\circ}$，
$\angle BAC + \angle B + \angle ACB = 180^{\circ}$，$\angle B = \angle ACB = 60^{\circ}$，$\angle BAC = 60^{\circ}$，
所以$\angle BPC = 120^{\circ}$，
所以$\angle QMC = 180^{\circ} - \angle BPC = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$。
所以，$\angle QMC$的度数不变，为$120^\circ$（$180^\circ - 60^\circ$，三角形内角和减去$\angle BPC$的度数）。
【答案】：
(1) 证明见解析；
(2) $\angle QMC$的度数不变，为$60^\circ$；
(3) $\angle QMC$的度数不变，为$120^\circ$。