《2025年拔尖特训八年级数学上册苏科版》

1. 如图,在正方形网格中,A、B、C、D、E是格点,则$∠ABD+∠CBE$的度数为45°.

答案： 45°

2. 如图,在网格中,每个小正方形的边长均为1,A、B、C为格点(小正方形的顶点),D为AC与网格线的交点,则$∠ADB-∠ABD$的度数为____.

答案：
45° 解析:如图,E为格点,连接AE、BE、CE,设AE与BD交于点F.由题意,得$AB^{2}=1^{2}+3^{2}=10$,$AE^{2}=1^{2}+2^{2}=5$,$BE^{2}=1^{2}+2^{2}=5$,$AC^{2}=1^{2}+2^{2}=5$,$\therefore AE=BE=AC$,$BE^{2}+AE^{2}=AB^{2}$.$\therefore \triangle ABE$是等腰直角三角形,且$\angle AEB=90^{\circ}$.$\therefore \angle BAE=45^{\circ}$.$\because BD// EC$,$\therefore \angle ADB=\angle ACE$,$\angle AFD=\angle AEC$.$\because AE=AC$,$\therefore \angle AEC=\angle ACE$.$\therefore \angle AFD=\angle ADF$.$\because \angle AFD$是$\triangle ABF$的一个外角,$\therefore \angle AFD - \angle ABD=\angle BAE=45^{\circ}$.$\therefore \angle ADB - \angle ABD=45^{\circ}$.
　　　

3. 如图,在网格中,每个小正方形的边长均为1,点A、B、C、D均在格点上.
(1)试判断$△ACD$的形状,并说明理由.
(2)求四边形ABCD的面积.

答案：
(1)$\triangle ACD$为直角三角形.理由:由题意,得$AC^{2}=3^{2}+3^{2}=18$,$CD^{2}=2^{2}+2^{2}=8$,$AD^{2}=1^{2}+5^{2}=26$,$\therefore AC^{2}+CD^{2}=AD^{2}$.$\therefore \triangle ACD$为直角三角形,且$\angle ACD=90^{\circ}$.
(2)在$\text{Rt}\triangle ABC$中,$AB=BC=3$,$\angle ABC=90^{\circ}$,$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC=\frac{1}{2}× 3× 3=\frac{9}{2}$.$\because$易得$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}×(2 + 5)× 3-\frac{1}{2}× 1× 5-\frac{1}{2}× 2× 2=6$,$\therefore S_{\text{四边形}ABCD}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ACD}=\frac{9}{2}+6=\frac{21}{2}$.

4. 如图,小巷左右两侧是竖直的墙,当一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为0.7m,顶端距离地面2.4m.如果保持梯子底端不动,将梯子斜靠在右墙,且顶端距离地面2m,那么小巷的宽度为(C)
A.0.7m
B.1.5m
C.2.2m
D.2.4m

答案： C

5. 如图,AB、BC、CD、DE是四根长度均为5cm的线段,点A、C、E共线.若$AC= 6cm$,$CD⊥BC$,则线段CE的长度是8cm.

答案： 8

6. 如图所示为某品牌婴儿车的简化结构示意图,根据安全标准,它需满足$BC⊥CD$.现测得$AB= CD= 6dm$,$BC= 3dm$,$AD= 9dm$,其中AB与BD之间由一个固定为$90^{\circ}$的零件连接(即$∠ABD= 90^{\circ}$),通过计算说明该婴儿车是否符合安全标准.

答案： 在$\text{Rt}\triangle ABD$中,$BD^{2}=AD^{2}-AB^{2}=9^{2}-6^{2}=45(\text{dm}^{2})$,在$\triangle BCD$中,$BC^{2}+CD^{2}=3^{2}+6^{2}=45(\text{dm}^{2})$,$\therefore BC^{2}+CD^{2}=BD^{2}$.$\therefore \angle BCD=90^{\circ}$.$\therefore BC\perp CD$.$\therefore$该婴儿车符合安全标准.