《2025年拔尖特训八年级数学上册苏科版》

10. 如图,在$△ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ },AC= 15cm,BC= 6cm$,CD 为 AB 边上的高,点 E 从点 B 出发,在直线 BC 上以 3 cm/s 的速度运动,过点 E 作 BC 的垂线交直线 CD 于点 F,当点 E 运动____7 或 3____s 时,$CF= AB$.

答案： 7 或 3 解析:设点 E 运动的时间为 t s.如图①，点 E 从点 B 出发沿射线 BC 方向运动，
∵ CD 为 AB 边上的高，
∴ CD⊥AB.
∵ ∠ACB=90°，EF⊥BC，
∴ ∠CEF=∠ACB=∠BDC=90°.
∴ ∠FCE=∠BCD=90°-∠ABC=∠A.在△CFE 和△ABC 中，∠CEF=∠ACB，∠FCE=∠A，CF=AB，
∴ △CFE≌△ABC.
∴ CE=AC=15 cm.
∵ BC=6 cm，且 BE=BC+CE，
∴ 3t=6+15，解得 t=7.如图②，点 E 从点 B 出发沿射线 CB 方向运动，则∠CEF=∠ACB=∠BDC=90°،∠FCE=∠A=90°-∠ABC.在△CFE 和△ABC 中，∠CEF=∠ACB，∠FCE=∠A，CF=AB，
∴ △CFE≌△ABC.
∴ CE=AC=15 cm.
∵ BC=6 cm，且 BE=CE-BC，
∴ 3t=15-6，解得 t=3.综上所述，当点 E 运动 7 s 或 3 s 时，CF=AB.

11. 如图,在$△ABC$中,点 D 在边 AB 上,EF 分别交 BC、AC 于点 G、O,$DF// BC,AC= DF,∠C= ∠OGC,∠B= ∠E$.求证:$BC= EF$.

答案：
∵ DF//BC，
∴ ∠F=∠OGC.又
∵ ∠C=∠OGC，
∴ ∠F=∠C.在△ABC 和△DEF 中，∠B=∠E，∠C=∠F，AC=DF，
∴ △ABC≌△DEF.
∴ BC=EF.

12. 如图,在四边形 ABCD 中,$AD// BC$,E 为 CD 的中点,连接 AE、BE,延长 AE 交 BC 的延长线于点 F.
(1) 求证:$△DAE\cong △CFE$.
(2) 若$AB= BC+AD$,求证:$BE⊥AF$.

答案：
(1)
∵ AD//BC，
∴ ∠ADC=∠ECF.
∵ E 是 CD 的中点，
∴ DE=EC.在△DAE 和△CFE 中，∠ADE=∠FCE，DE=CE，∠AED=∠FEC，
∴ △DAE≌△CFE.
(2)由
(1)，知△DAE≌△CFE，
∴ AE=FE，AD=FC.
∵ AB=BC+AD，
∴ AB=BC+CF，即 AB=BF.在△ABE 和△FBE 中，AB=FB，AE=FE，BE=BE，
∴ △ABE≌△FBE.
∴ ∠AEB=∠FEB=90°.
∴ BE⊥AF.

13. 如图,AD 是$△ABC$的边 BC 上的中线. 若$AB= 5,AD= 3$,则 AC 长的取值范围是 (A)
A.$1＜AC＜11$
B.$1＜AC＜8$
C.$2＜AC＜8$
D.$1＜AC＜4$

答案： A 解析:如图，延长 AD 到点 E，使 ED=AD，连接 EB.
∵ AD 是△ABC 的边 BC 上的中线，
∴ BD=CD.在△EBD 和△ACD 中，ED=AD，∠EDB=∠ADC，BD=CD，
∴ △EBD≌△ACD.
∴ EB=AC.
∵ AB=5，AD=3，
∴ AE=2AD=6.
∵ AE-AB＜EB＜AE+AB，且 AE-AB=6-5=1，AE+AB=6+5=11，
∴ 1＜AC＜11.

14. 如图,在$△ABC$中,D 为边 BC 上一点,E 为边 BA 上一点,且$AE= CD$,连接 AD,F 为 AD 的中点. 连 答案讲解接 EF 并延长,交 AC 于点 G,在 FG 上取点 H,使$FH= FE$,连接 HD、GD. 若$HG= CG$,求证:
(1) $△AEF\cong △DHF$.
(2) $∠B= 2∠GDC$.

答案：
(1)
∵ F 为 AD 的中点，
∴ AF=DF.在△AEF 和△DHF 中，AF=DF，∠AFE=∠DFH，FE=FH，
∴ △AEF≌△DHF.
(2)
∵ △AEF≌△DHF，
∴ ∠EAF=∠HDF，AE=DH.
∴ DH//AB.
∴ ∠HDC=∠B.
∵ AE=CD，
∴ DH=CD.在△DHG 和△DCG 中，DH=DC，HG=CG，DG=DG，
∴ △DHG≌△DCG.
∴ ∠GDH=∠GDC.
∴ ∠HDC=∠GDC+∠GDH=2∠GDC.
∴ ∠B=2∠GDC.