《2025年拔尖特训八年级数学上册苏科版》

5. 如图,在$\triangle OAB和\triangle OCD$中,$OA = OB$,$OC = OD$,$OA ＞ OC$,$\angle AOB = \angle COD = 40^{\circ}$,连接AC、BD交于点M,连接OM。有下列结论：①$AC = BD$；②$\angle AMB = 40^{\circ}$；③OM平分$\angle BOC$；④MO平分$\angle BMC$。其中,正确的有①②④(填序号)。

答案： ①②④

6. 如图,在$\triangle ABC$中,D为边BC上一点,$BA = BD$,EF垂直平分AC,交AC于点E,交BC于点F,连接AF、AD。当$\angle B = 30^{\circ}$,$\angle BAF = 90^{\circ}$时,$\angle DAC$的度数为45°。

答案： 45°

7. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,BD为$\angle ABC$的平分线,过点D作直线$l // AB$,P为直线l上的一个动点。若$\triangle BCD$的面积为16,$BC = 8$,则AP长的最小值为______4。

答案： 4

8. 如图,$\triangle ABC$是等腰直角三角形,AD是其底边BC上的高,E是AD上的一点,以CE为边,向上作等边三角形CEF,连接BF,则$\angle CBF$的度数为______。

答案：
30° 解析:如图,连接BE并延长,交CF于点H.
∵△ABC是等腰直角三角形,AD⊥BC,
∴易得AD是BC的垂直平分线.
∴EB=EC.
∴∠EBC=∠ECB.
∵△CEF是等边三角形,
∴∠FEC=60°,EF=EC.
∴EB=EF.
∴∠FBE=∠EFB.
∵∠FEH=∠FBE+∠EFB,∠CEH=∠EBC+∠ECB,
∴∠FEC=∠FEH+∠CEH=∠FBE+∠EFB+∠EBC+∠ECB=2∠FBE+2∠EBC=2∠CBF.
∴∠CBF=$\frac{1}{2}$∠FEC=30°.

9. 如图,$\triangle ABC$为等边三角形,延长BC到点D,延长BA到点E,使$AE = BD$,连接CE、DE。求证：$EC = ED$。

答案：
如图,延长BD至点F,使FD=BC,连接EF.
∴BC+CD=FD+CD,即BD=CF.
∵△ABC为等边三角形,
∴AB=BC,∠B=60°.
∵AE=BD=CF,
∴AE+AB=CF+BC,即BE=BF.
∴△BEF为等边三角形.
∴BE=FE,∠F=60°.
在△ECB和△EDF中,
{BE=FE,
∠B=∠F=60°,BC=FD,
}
∴△ECB≌△EDF.
∴EC=ED.

10. 已知OF是$\angle MON$的平分线,点A在射线OM上,P、Q是直线ON上两动点,点Q在点P的右侧,且$PQ = AO$,作线段OQ的垂直平分线,分别交直线OF、ON于点B、C,连接AB、PB。
(1) 如图①,试判断AB与PB之间的数量关系,并说明理由。
(2) 如图②,当P、Q两点都在射线ON的反向延长线上时,线段AB、PB是否还存在(1)中的数量关系？若存在,请写出证明过程；若不存在,请说明理由。

答案：

(1)AB=PB.
理由:如图①,连接BQ.
∵BC垂直平分OQ,
∴BO=BQ.
∴∠BOQ=∠BQO.
∵OF平分∠MON,
∴∠AOB=∠BOQ=∠BQO.
又
∵AO=PQ,
∴△AOB≌△PQB.
∴AB=PB.
(2)存在.
如图②,连接BQ.
∵BC垂直平分OQ,
∴BO=BQ.
∴∠BOQ=∠BQO.
∵OF平分∠MON,∠BOQ=∠FON,
∴∠AOF=∠FON=∠BQC.
∴∠BOA=∠BQP.
又
∵AO=PQ,
∴△AOB≌△PQB.
∴AB=PB.