《2025年拔尖特训八年级数学上册苏科版》

11. 若m是$\sqrt{26}$的整数部分,$\sqrt{n}= 3$,求$\sqrt[3]{mn+19}$的值。

答案：
∵ $5＜\sqrt{26}＜6$,m 是$\sqrt{26}$的整数部分,
∴ $m=5$.
∵ $\sqrt{n}=3$,
∴ $n=9$.
∴ $\sqrt[3]{mn+19}=\sqrt[3]{5×9+19}=4$.

12. 如图①所示为由8个同样大小的小立方体组成的魔方,体积为64.
(1)求出这个魔方的棱长.
(2)图①中涂色部分是一个正方形ABCD,求出涂色部分的面积及其边长.
(3)把正方形ABCD放到如图②所示的数轴上,使得点A与-1重合,那么点D在数轴上表示的数为______$-1-\sqrt{8}$。

答案： （1）$\sqrt[3]{64}=4$.
∴ 这个魔方的棱长为4.（2）
∵ 魔方的棱长为4,
∴ 小立方体的棱长为2.
∴ 涂色部分的面积为$\frac{1}{2}×2×2×4=8$.
∴ 涂色部分的边长为$\sqrt{8}$.
∴ 涂色部分的面积是8,边长是$\sqrt{8}$.（3）$-1-\sqrt{8}$.

13. 如图,一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B,点A表示的数为$-\sqrt{2}$,设点B表示的数为m.
(1)求$|m+1|+|m-1|$的值.
(2)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d,且$|2c+d|与\sqrt{d+4}$互为相反数,求$2c-3d$的平方根.

答案： （1）由题意,得$m=-\sqrt{2}+2$.
∴ $m+1＞0$,$m-1＜0$.
∴ $|m+1|+|m-1|=m+1+1-m=2$.（2）由题意,得$|2c+d|+\sqrt{d+4}=0$,
∴ $2c+d=0$,$d+4=0$.
∴ $d=-4$,$c=2$.
∴ $2c-3d=16$.
∵ 16的平方根是±4,
∴ $2c-3d$的平方根是±4.

14. 若$\sqrt{3}＜\sqrt{m}＜\sqrt{7}$,其中m和$\sqrt{m}$都是正整数,则m的值是4。

答案： 4 解析:
∵ $\sqrt{3}＜\sqrt{m}＜\sqrt{7}$,且 m 是正整数,
∴ m=4或m=5或m=6.
∵ $\sqrt{m}$是正整数,
∴ $m=4$.

15. 我们知道,任意一个有理数与无理数的和为无理数,任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数,而零与无理数的积为零.由此可得：如果$mx+n= 0$,其中m、n为有理数,x为无理数,那么m= 0且n= 0.
(1)如果$(a-2)\sqrt{2}+b+3= 0$,其中a、b为有理数,那么a=2,b=-3。
(2)如果$(2+\sqrt{2})a-(1-\sqrt{2})b= 9$,其中a、b为有理数,求$a-2b$的平方根.
∵ $(2+\sqrt{2})a-(1-\sqrt{2})b=9$,
∴ $2a-b-9+\sqrt{2}(a+b)=0$.
∴ $2a-b-9=0$,$a+b=0$,解得$a=3$,$b=-3$.
∴ $a-2b=9$.
∴ $a-2b$的平方根为±3.
(3)若x、y是有理数,满足$3(x-2y)-(1-\sqrt{2})y= 9+3\sqrt{2}$,求$x-y$的算术平方根.
∵ $3(x-2y)-(1-\sqrt{2})y=9+3\sqrt{2}$,
∴ $3x-7y+\sqrt{2}y=9+3\sqrt{2}$.
∴ $3x-7y=9$,$y=3$.
∴ $x=10$,$y=3$.
∴ $x-y=10-3=7$.
∴ $x-y$的算术平方根为$\sqrt{7}$.

答案： （1）2；-3.（2）
∵ $(2+\sqrt{2})a-(1-\sqrt{2})b=9$,
∴ $2a-b-9+\sqrt{2}(a+b)=0$.
∴ $2a-b-9=0$,$a+b=0$,解得$a=3$,$b=-3$.
∴ $a-2b=9$.
∴ $a-2b$的平方根为±3.（3）
∵ $3(x-2y)-(1-\sqrt{2})y=9+3\sqrt{2}$,
∴ $3x-7y+\sqrt{2}y=9+3\sqrt{2}$.
∴ $3x-7y=9$,$y=3$.
∴ $x=10$,$y=3$.
∴ $x-y=10-3=7$.
∴ $x-y$的算术平方根为$\sqrt{7}$.