《2025年拔尖特训八年级数学上册苏科版》

1. 已知一个正数的平方根分别为 $ 2x + 1 $ 和 $ 3 - 4x $,则这个正数是(A)
A.25
B.16
C.8
D.2

答案： A

2. 给出下列有关平方根的叙述：① 如果 $ a $ 存在平方根,那么 $ a ＞ 0 $；② 如果 $ a $ 有两个不相等的平方根,那么 $ a ＞ 0 $；③ 如果 $ a $ 没有平方根,那么 $ a ＜ 0 $；④ 如果 $ a ＞ 0 $,那么 $ a $ 的平方根也大于 0. 其中,正确的个数是(B)
A.1
B.2
C.3
D.4

答案： B

3. (1)2.56 的平方根是±1.6,$ (-2)^2 $ 的平方根是±2,$ 10^{-2} $ 的平方根是±0.1.
(2)若 $ a $ 的平方根是 $ \pm 3 $,则 $ a = $9.

答案：
(1) ±1.6 ±2 ±0.1
(2) 9

4. 若 $ -\sqrt{5} $ 是 $ x $ 的一个平方根,则另一个平方根是$\sqrt{5}$,$ x $ 的值是5.

答案： $\sqrt{5}$ 5

5. 若 25 的算术平方根为 $ x $,4 是 $ y + 1 $ 的一个平方根,则 $ x - y = $______-10.

答案： -10

6. 已知一个正数的平方根是 $ a + 3 $ 和 $ 2a - 15 $. 求：
(1)这个正数.
(2)$ \sqrt{a + 12} $ 的平方根.

答案：
(1)
∵ 一个正数的平方根是$a+3$和$2a-15$,
∴ $a+3+2a-15=0$.
∴ $a=4$.
∴ $a+3=7$.
∴ 这个正数为$7^{2}=49$.
(2) 由
(1)知,$a=4$,
∴ $a+12=4+12=16$.
∵ $\sqrt{16}=4$,
∴ $\sqrt{a+12}$的平方根是$\pm \sqrt{4}=\pm 2$.

7. 计算：
(1)$ \sqrt{121} + \sqrt{\frac{25}{16}} $. (2)$ \sqrt{\frac{144}{9}} × \sqrt{3\frac{1}{16}} $.
(3)$ \sqrt{1 - \frac{9}{25}} $. (4)$ (\sqrt{6})^2 - \sqrt{49} $.

答案：
(1) $12\frac{1}{4}$.
(2) 7.
(3) $\frac{4}{5}$.
(4) -1.

8. 已知一个正数 $ x $ 的两个平方根分别是 $ m $ 和 $ m + n $,且 $ m^2x + (m + n)^2x = 50 $,则 $ x $ 的值为(A)
A.5
B.10
C.25
D.50

答案： A

9. 用“★”规定新运算：对于任意数 $ a $、$ b $,都有 $ a★b = a^2 - b $. 如果 $ x★13 = 2 $,那么 $ x $ 的值为(D)
A.15
B.$ \sqrt{15} $
C.$ -\sqrt{15} $
D.$ \pm \sqrt{15} $

答案： D

10. 一个自然数的算术平方根是 $ x $,则与这个自然数相邻的下一个自然数的算术平方根是(C)
A.$ \sqrt{x} + 1 $
B.$ \sqrt{x + 1} $
C.$ \sqrt{x^2 + 1} $
D.$ x + 1 $

答案： C

11. 若 $ 2m - 4 $ 与 $ 3m - 1 $ 是同一个数的平方根,则 $ m $ 的值是(D)
A.-3
B.-1
C.1
D.-3 或 1

答案： D 解析:当$2m-4=3m-1$时,$m=-3$;当$2m-4+3m-1=0$时,$m=1$.
∴ $m$的值是-3或1.

12. 正数 $ a $ 的两个平方根是方程 $ 3x + 2y = 2 $ 的一组解,则 $ a = $4.

答案： 4 解析:
∵ $x$、$y$是正数$a$的两个平方根,
∴ $y=-x$.
∴ $3x+2y=3x+2× (-x)=2$,即$3x-2x=2$,解得$x=2$.
∴ $a=x^{2}=4$.

13. *(1)已知 $ a - 1 $ 的算术平方根是 0,$ b - a $ 的算术平方根是 2,则 $ ab $ 的平方根为$\pm \sqrt{5}$.
(2)已知 $ 1 - 3m $ 是数 $ A $ 的一个平方根,$ 4m - 2 $ 是数 $ A $ 的算术平方根,则数 $ A $ 为4.

答案：
(1) $\pm \sqrt{5}$ 解析:由题意,得$a-1=0$,$b-a=4$,解得$a=1$,$b=5$.
∴ $ab=1× 5=5$.
∴ $ab$的平方根为$\pm \sqrt{5}$.
(2) 4 解析:
∵ $1-3m$是数$A$的一个平方根,$4m-2$是数$A$的算术平方根,
∴ $4m-2\geq 0$,解得$m\geq \frac{1}{2}$.
∴ $1-3m=4m-2$或$1-3m=-(4m-2)$,解得$m=\frac{3}{7}$(不合题意,舍去)或$m=1$.
∴ $1-3m=-2$,$4m-2=2$.
∵ $(-2)^{2}=2^{2}=4$,
∴ 数$A$为4.