《2025年拔尖特训八年级数学上册苏科版》

10. 如图,在$△ABC$中,$AB= AC$,DE垂直平分AB,交边AB于点D,交边AC于点E,BF垂直平分CE,交AC于点F,连接BE.
(1)求证：$AE= BC$.
(2)求$∠A$的度数.

答案：
(1)
∵ DE 垂直平分 AB,
∴ AE=BE.
∵ BF 垂直平分 CE,
∴ BE=BC.
∴ AE=BC.
(2)
∵ AE=BE,
∴ $\angle A=\angle ABE$.
∵ $\angle BEC=\angle A+\angle ABE$,
∴ $\angle BEC=2\angle A$.
∵ BE=BC,
∴ $\angle C=\angle BEC$.
∴ $\angle C=2\angle A$.
设$\angle A=x^\circ$,则$\angle C=2x^\circ$.
∵ AB=AC,
∴ $\angle ABC=\angle C=2x^\circ$.
∵ $\angle A+\angle ABC+\angle C=180^\circ$,
∴ $x + 2x + 2x=180$,解得$x=36$.
∴ $\angle A=36^\circ$.

11. 如图,在$△ABC$中,$AB= AC$,$∠BAC= 100^{\circ }$,BD平分$∠ABC$,且$BD= AB$,连接AD、DC.
(1)求证：$∠CAD= ∠DBC$.
(2)求$∠BDC$的度数.

答案：
(1)
∵ AB=AC,$\angle BAC=100^\circ$,
∴ $\angle ABC=\angle ACB=40^\circ$.
∵ BD 平分$\angle ABC$,
∴ $\angle ABD=\angle DBC=20^\circ$.
∵ BD=AB,
∴ $\angle ADB=\angle DAB=80^\circ$.
∴ $\angle CAD=20^\circ$.
∴ $\angle CAD=\angle DBC$.
(2)如图,延长 AD 到点 E,使得 AE=BC,连接 EC.
∵ AB=AC,BD=AB,
∴ BD=AC.
又
∵ BC=AE,$\angle CAD=\angle DBC$,
∴ △DBC≌△CAE.
∴ CD=EC,$\angle BDC=\angle ACE$.
∴ $\angle CDE=\angle CED$.
设$\angle CDE=\angle CED=\alpha$.
∵ $\angle ADB=80^\circ$,
∴ $\angle BDE=100^\circ$.
∴ $\angle BDC=\angle ACE=100^\circ+\alpha$.
∵ 在△ACE 中,$20^\circ + 100^\circ+\alpha+\alpha=180^\circ$,解得$\alpha=30^\circ$.
∴ $\angle BDC=130^\circ$.

12. 过等腰三角形顶角顶点的一条直线,将该等腰三角形分成两个三角形,且这两个三角形均为等腰三角形.原等腰三角形的底角度数为36°或45°.

答案： 36°或45° 解析:如图① 在△ABC中
∵ AB=AC BD=AD AC=CD
∴ ∠B=∠C=∠BAD ∠CAD=∠CDA
∵ ∠CDA=∠B + ∠BAD=2∠B
∴ ∠BAC=3∠B
∵ ∠BAC + ∠B + ∠C=180°
∴ 5∠B=180°
∴ ∠B=36° 如图② 在△ABC中
∵ AB=AC AD=BD=CD
∴ ∠B=∠C=∠DAC=∠DAB
∴ ∠BAC=2∠B
∵ ∠BAC + ∠B + ∠C=180°
∴4∠B=180°
∴ ∠B=45° 综上所述原等腰三角形の底角度数为36°或45°.

13. 如图,在$△ABC$中,$AB= BC$,$∠ABC＞90^{\circ }$,CD与直线AB垂直,垂足为D,$∠BCD$的平分线CE交BD于点E,点H在线段AC上,HE的延长线与CD的延长线相交于点F.
(1)求证：$∠ACE= 45^{\circ }$.
(2)若$FH⊥AC$,求证：$AE= FC$.

答案：
(1)
∵ CD⊥AD,$\angle ADC=90^\circ$.
∴ $\angle ACD+\angle A=90^\circ$.
∵ CE 平分$\angle BCD$,
∴ $\angle BCE=\angle DCE$.
∵ AB=BC,
∴ $\angle A=\angle ACB$.
∴ $\angle ACD+\angle A=2\angle ACB + 2\angle BCE=90^\circ$.
∴ $\angle ACE=\angle ACB+\angle BCE=45^\circ$.
(2)
∵ FH⊥AC,
∴ $\angle AHE=\angle FHC=90^\circ$.
由
(1),得$\angle ACE=45^\circ$,
∴ $\angle HEC=45^\circ=\angle ACE$.
∴ HE=HC.
∵ CD⊥AB,
∴ $\angle EDF=90^\circ$.
∴ $\angle AHE=\angle EDF$.
∵ $\angle AEH=\angle FED$,
∴ $\angle A=\angle F$.
在△AHE 和△FHC 中,
$\begin{cases}\angle A=\angle F, \\\angle AHE=\angle FHC \\ HE=HC,\end{cases}$
∴ △AHE≌△FHC.
∴ AE=FC.