《2025年拔尖特训八年级数学上册苏科版》

10. 如图,在△ABC中,D是边AB上一点,在AC的延长线上取点E,使EC= BD,连接DE交BC于点F.若DF= EF,求证：△ABC为等腰三角形.

答案： 过点D作DM//AC，交BC于点M.
∴∠DMB=∠ACB,∠FDM=∠E.在△DMF和△ECF中,∠FDM=∠E,{DF=EF,∠DFM=∠EFC,
∴△DMF≌△ECF.
∴DM=EC.
∵EC=BD,
∴DM=BD.
∴∠DMB=∠B.
∴∠B=∠ACB.
∴AB=AC.
∴△ABC为等腰三角形.

11. 在△ABC中,∠C= 3∠B,AD平分∠BAC交BC于点D.
(1)如图①,若AE⊥BC于点E,∠C= 75°,求∠DAE的度数.
(2)如图②,若DF⊥AD交AB于点F,求证：BF= DF.

答案：
(1)
∵∠C=3∠B,∠C=75°,
∴∠B=25°.
∴∠BAC=180° - ∠B - ∠C=80°.
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=40°.
∴∠ADE=∠BAD+∠B=65°.
∵AE⊥BC,
∴∠AED=90°.
∴∠DAE=90° - ∠ADE=90° - 65°=25°.
(2)设∠B=α,则∠C=3α,∠BAC=180° - ∠B - ∠C=180° - 4α.
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=90° - 2α.
∵DF⊥AD,
∴∠ADF=90°.
∴∠AFD=90° - ∠BAD=2α.
∵∠AFD=∠B+∠BDF,
∴∠BDF=α=∠B.
∴BF=DF.

12. 如图,在△ABC中,∠B= 2∠A,∠ACB的平分线CD交AB于点D.若AC= 16,CB= 9,则BD的长为______。

7

答案： 7　解析:如图，在AC上截取CE=CB,连接DE.
∵∠ACB的平分线CD交AB于点D,
∴∠BCD=∠ECD.在△CBD和△CED中,CB=CE,{∠BCD=∠ECD,CD=CD,
∴△CBD≌△CED.
∴BD=ED,∠B=∠CED.
∵∠B=2∠A,
∴∠CED=2∠A=∠A+∠ADE.
∴∠A=∠ADE.
∴AE=ED.
∴AE=BD.
∴BD=AC - CE=AC - BC=16 - 9=7.

13. 在四边形ABCD中,∠BAD= α,∠C= 180°-α,BD平分∠ABC.
(1)如图①,若α= 90°,则根据教材中的一条重要性质可直接得到AD= CD.这条性质是角平分线上的点到角两边的距离相等.
(2)如图②,求证：AD= CD.
如图①,过点D作DE⊥BA,交BA的延长线于点E,DF⊥BC于点F.
∵BD平分∠EBF,DE⊥BE,DF⊥BF,
∴DE=DF,∠DEA=∠DFC=90°.
∵∠BAD+∠C=180°,∠BAD+∠DAE=180°,
∴∠DAE=∠C.在△DEA和△DFC中,∠DAE=∠C,{∠DEA=∠DFC,DE=DF,
∴△DEA≌△DFC.
∴AD=CD.
(3)如图③,在等腰三角形ABC中,∠A= 100°,BD平分∠ABC,交AC于点D,求证：BD+AD= BC.
如图②,在BC上截取BK=BD,连接DK.
∵AB=AC,∠A=100°,
∴∠ABC=∠C=40°.
∵BD平分∠ABC,
∴∠DBK=$\frac{1}{2}$∠ABC=20°.
∵BK=BD,
∴∠BKD=∠BDK=80°.
∴∠A+∠BKD=180°.同
(2),易得AD=DK.
∵∠BKD=∠C+∠KDC,
∴∠KDC=40°=∠C.
∴DK=CK.
∴AD=DK=CK.
∴BD+AD=BK+CK=BC.

答案：
(1)角平分线上的点到角两边的距离相等.
(2)如图①,过点D作DE⊥BA,交BA的延长线于点E,DF⊥BC于点F.
∵BD平分∠EBF,DE⊥BE,DF⊥BF,
∴DE=DF,∠DEA=∠DFC=90°.
∵∠BAD+∠C=180°,∠BAD+∠DAE=180°,
∴∠DAE=∠C.在△DEA和△DFC中,∠DAE=∠C,{∠DEA=∠DFC,DE=DF,
∴△DEA≌△DFC.
∴AD=CD.
(3)如图②,在BC上截取BK=BD,连接DK.
∵AB=AC,∠A=100°,
∴∠ABC=∠C=40°.
∵BD平分∠ABC,
∴∠DBK=$\frac{1}{2}$∠ABC=20°.
∵BK=BD,
∴∠BKD=∠BDK=80°.
∴∠A+∠BKD=180°.同
(2),易得AD=DK.
∵∠BKD=∠C+∠KDC,
∴∠KDC=40°=∠C.
∴DK=CK.
∴AD=DK=CK.
∴BD+AD=BK+CK=BC.