《2025年全优点练课计划九年级数学上册人教版》

9. 对于命题“已知$a// b$，$b// c$，求证：$a// c$”，如果用反证法，应先假设（ ）
A. $a$不平行于$b$ B. $b$不平行于$c$ C. $a$不平行于$c$ D. $a\perp c$

答案： C
解析：反证法假设结论不成立，即$a$不平行于$c$. 故选C.

10. 如图，点$A$，$B$，$C$在同一条直线上，点$D$在直线$AB$外，过这四个点中的任意三个点，能画的圆有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

答案： C
解析：三点不共线可画圆. 组合：$A,B,D$；$A,C,D$；$B,C,D$，共3个. 故选C.

11. 【易错题】如果点$O$为$\triangle ABC$的外心，$\angle BOC=70^\circ$，那么$\angle BAC$等于（ ）
A. $35^\circ$ B. $110^\circ$ C. $145^\circ$ D. $35^\circ$或$145^\circ$

答案： D
解析：外心位置分锐角和钝角三角形. 锐角三角形中$\angle BAC=\frac{1}{2}\angle BOC=35^\circ$；钝角三角形中$\angle BAC=180^\circ-\frac{1}{2}\angle BOC=145^\circ$. 故选D.

12. 如图，在矩形$ABCD$中，$AB=6$，$AD=8$，以顶点$A$为圆心作半径为$r$的圆. 若要求另外三个顶点至少有一个在圆内，且至少有一个在圆外，则$r$的取值范围是_______.

答案： $6＜r＜10$
解析：$AB=6$，$AD=8$，$AC=10$. 顶点到$A$的距离：$AB=6$，$AD=8$，$AC=10$. 需至少一内一外，故$6＜r＜10$.

13. 如图，在平面直角坐标系中，点$A(0,4)$，$B(4,4)$，$C(6,2)$.
（1）经过$A$，$B$，$C$三点的圆弧所在圆的圆心$M$的坐标为_______.
（2）这个圆的半径为_______.
（3）直接判断点$D(5,-2)$与$\odot M$的位置关系：点$D(5,-2)$在$\odot M$_______.

答案： （1）$(2,0)$；（2）$2\sqrt{5}$；（3）内
解析：（1）$AB$垂直平分线$x=2$，$AC$中点$(3,3)$，斜率$k_{AC}=-\frac{1}{3}$，垂直平分线斜率3，方程$y=3x-6$，交点$(2,0)$即圆心.
（2）半径$MA=\sqrt{(2-0)^2+(0-4)^2}=2\sqrt{5}$.
（3）$MD=\sqrt{(5-2)^2+(-2-0)^2}=\sqrt{13}＜2\sqrt{5}$，故在内.

14. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle BAC=70^\circ$，$AB=AC$，$O$为$\triangle ABC$的外心，$\triangle OCP$为等边三角形，$OP$与$AC$交于点$D$，连接$OA$.
（1）求$\angle OAC$的度数；
（2）求$\angle AOP$的度数.

答案： （1）$35^\circ$；（2）$50^\circ$
解析：（1）$AB=AC$，$\angle BAC=70^\circ$，外心$O$在$BC$垂直平分线上，$OA$平分$\angle BAC$，故$\angle OAC=\frac{1}{2}×70^\circ=35^\circ$.
（2）$\angle ABC=\angle ACB=55^\circ$，$\angle AOC=2\angle ABC=110^\circ$（圆心角是圆周角2倍）. $\triangle OCP$等边，$\angle POC=60^\circ$，故$\angle AOP=\angle AOC-\angle POC=110^\circ-60^\circ=50^\circ$.

15. 如图，在平面直角坐标系中，点$P$的坐标为$(5,3)$，过点$P$作$PA\perp y$轴于点$A$，以点$P$为圆心、$PA$的长为半径作圆，$\odot P$与$x$轴交于$B$，$C$两点（点$B$在点$C$的左侧）.
（1）直接写出$A$，$B$，$C$三点的坐标.
（2）求过$A$，$B$，$C$三点的抛物线的解析式.
（3）设该抛物线的顶点为$M$，点$M$关于$x$轴的对称点为点$N$. 试判断点$M$，$N$与$\odot P$的位置关系.

答案： （1）$A(0,3)$，$B(1,0)$，$C(9,0)$；
（2）$y=\frac{1}{3}x^2-\frac{10}{3}x+3$；
（3）$M$在$\odot P$外，$N$在$\odot P$内
解析：（1）$PA=5$（$P$到$y$轴距离），圆方程$(x-5)^2+(y-3)^2=25$. 令$y=0$，$(x-5)^2=16$，$x=1$或$9$，故$B(1,0)$，$C(9,0)$.
（2）设抛物线$y=a(x-1)(x-9)$，代入$A(0,3)$得$3=9a$，$a=\frac{1}{3}$，即$y=\frac{1}{3}x^2-\frac{10}{3}x+3$.
（3）顶点$M(5,-\frac{16}{3})$，$N(5,\frac{16}{3})$. $PM=\vert-\frac{16}{3}-3\vert=\frac{25}{3}＞5$，$PN=\vert\frac{16}{3}-3\vert=\frac{7}{3}＜5$，故$M$在外，$N$在内.