《2025年全优点练课计划九年级数学上册人教版》

10. 抛物线 $y = 2x^2$，$y = -2x^2$，$y = \frac{1}{2}x^2$ 共有的性质是（ ）
A. 开口向下
B. 对称轴是 $y$ 轴
C. 都有最低点
D. $y$ 的值随 $x$ 的增大而减小

答案： B
解析：三个抛物线均为$y = ax^2$形式，对称轴都是$y$轴。A项$y = 2x^2$开口向上；C项$y = -2x^2$有最高点；D项单调性与$a$正负及$x$取值范围有关。选B。

11. 当 $ab ＞ 0$ 时，函数 $y = ax^2$ 与函数 $y = bx + a$ 的图象大致是（ ）（选项图略）

答案： A（假设选项A为开口向上抛物线与正斜率直线，$a ＞ 0$，$b ＞ 0$）
解析：$ab ＞ 0$则$a$、$b$同号。$a ＞ 0$时抛物线开口向上，直线斜率$b ＞ 0$，截距$a ＞ 0$；$a ＜ 0$时抛物线开口向下，直线斜率$b ＜ 0$，截距$a ＜ 0$，对应选项A。

12. 已知抛物线 $y = ax^2\ (a ＞ 0)$ 过 $A(-2, y_1)$，$B(1, y_2)$ 两点，则下列说法正确的是（ ）
A. $y_1 ＞ 0 ＞ y_2$
B. $y_2 ＞ 0 ＞ y_1$
C. $y_1 ＞ y_2 ＞ 0$
D. $y_2 ＞ y_1 ＞ 0$

答案： C
解析：$a ＞ 0$，$y_1 = a(-2)^2 = 4a$，$y_2 = a(1)^2 = a$，$4a ＞ a ＞ 0$，故$y_1 ＞ y_2 ＞ 0$。选C。

13. 已知四个二次函数的图象如图所示，则 $a_1$，$a_2$，$a_3$，$a_4$ 的大小关系是______。（用“$＞$”连接）（第13题图）

答案： $a_1 ＞ a_2 ＞ a_3 ＞ a_4$
解析：开口向上$a ＞ 0$，开口向下$a ＜ 0$；开口越窄$|a|$越大，故$a_1 ＞ a_2 ＞ 0 ＞ a_3 ＞ a_4$（假设图中$a_1$开口最窄向上，$a_2$次之，$a_3$开口较宽向下，$a_4$最宽向下）。

14. 如图，$\odot O$ 的半径为 $2$，$C_1$ 是函数 $y = 2x^2$ 的图象，$C_2$ 是函数 $y = -2x^2$ 的图象，则图中阴影部分的面积为______。（第14题图）

答案： $2\pi$
解析：阴影部分关于$x$轴对称，总面积为半圆面积，半径2，面积$\frac{1}{2}π×2^2 = 2π$。

15. 根据下列条件，求 $m$ 的取值范围。
(1) 函数 $y = (m + 3)x^2$，当 $x ＞ 0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小；当 $x ＜ 0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大。
(2) 函数 $y = (2m - 1)x^2$ 有最小值。
(3) 抛物线 $y = (m + 2)x^2$ 与抛物线 $y = -\frac{1}{2}x^2$ 的形状相同。

答案：
(1) $m ＜ -3$
解析：需$m + 3 ＜ 0$（开口向下），即$m ＜ -3$。
(2) $m ＞ \frac{1}{2}$
解析：有最小值需开口向上，$2m - 1 ＞ 0$，$m ＞ \frac{1}{2}$。
(3) $m = -\frac{5}{2}$ 或 $m = -\frac{3}{2}$
解析：形状相同则$|m + 2| = \frac{1}{2}$，$m + 2 = \pm \frac{1}{2}$，解得$m = -\frac{5}{2}$或$m = -\frac{3}{2}$。

16. 如图，抛物线 $y = x^2$ 与直线 $y = 2x$ 在第一象限内有一个交点 $A$。
(1) 求点 $A$ 的坐标；
(2) 在 $x$ 轴上是否存在一点 $P$，使 $\triangle AOP$ 是以 $OP$ 为底的等腰三角形？若存在，请求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由。（第16题图）

答案：
(1) $(2, 4)$
解析：联立$\begin{cases} y = x^2 \\ y = 2x \end{cases}$，解得$x = 0$或$x = 2$，第一象限交点$A(2, 4)$。
(2) 存在，$P(4, 0)$
解析：设$P(t, 0)$，$OP$为底，则$OA = PA$，$\sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{(t - 2)^2 + 4^2}$，解得$t = 4$（$t = 0$舍去），故$P(4, 0)$。