《2025年全优点练课计划九年级数学上册人教版》

1.（1）把二次函数$ y=(x+2)^2 -5 $变形为$ y=ax^2 + bx + c $的形式为______；（2）将抛物线$ y=x^2 -4x +5 $化成$ y=a(x-h)^2 + k $后，$ h + k= $______.

答案： （1）$ y=x^2 +4x -1 $；（2）3
解析：（1）$ y=(x+2)^2 -5=x^2 +4x +4 -5=x^2 +4x -1 $。
（2）$ y=x^2 -4x +5=(x-2)^2 +1 $，故h=2，k=1，h+k=3。

2. 通过配方法写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.（1）$ y=x^2 +3x -2 $；（2）$ y=3x^2 -2x +4 $.

答案： （1）开口向上，对称轴$ x=-\frac{3}{2} $，顶点$ (-\frac{3}{2}, -\frac{17}{4}) $；（2）开口向上，对称轴$ x=\frac{1}{3} $，顶点$ (\frac{1}{3}, \frac{11}{3}) $
解析：（1）$ y=x^2 +3x -2=(x+\frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} -2=(x+\frac{3}{2})^2 -\frac{17}{4} $，开口向上，对称轴$ x=-\frac{3}{2} $，顶点$ (-\frac{3}{2}, -\frac{17}{4}) $。
（2）$ y=3x^2 -2x +4=3(x^2 -\frac{2}{3}x) +4=3(x-\frac{1}{3})^2 -3×\frac{1}{9} +4=3(x-\frac{1}{3})^2 +\frac{11}{3} $，开口向上，对称轴$ x=\frac{1}{3} $，顶点$ (\frac{1}{3}, \frac{11}{3}) $。

3. 已知二次函数$ y=-x^2 +2x $，下列说法正确的是（ ）
A. 其图象的开口向上
B. 其图象的对称轴为直线$ x=1 $
C. 其最大值为-1
D. 其图象的顶点坐标为(-1,1)

答案： B
解析：$ y=-x^2 +2x=-(x-1)^2 +1 $，开口向下（a=-1＜0），A错误；对称轴x=1，B正确；最大值为1，C错误；顶点(1,1)，D错误，故选B。

4. 已知点$ A(x_1,y_1) $，$ B(x_2,y_2) $在二次函数$ y=-x^2 +2x +4 $的图象上. 若$ x_1 ＜ x_2 ＜1 $，则$ y_1 $与$ y_2 $的大小关系是（ ）
A. $ y_1 \geq y_2 $
B. $ y_1 = y_2 $
C. $ y_1 ＞ y_2 $
D. $ y_1 ＜ y_2 $

答案： D
解析：抛物线$ y=-x^2 +2x +4=-(x-1)^2 +5 $，对称轴x=1，开口向下。当x＜1时，y随x增大而增大，因$ x_1 ＜ x_2 ＜1 $，故$ y_1 ＜ y_2 $，选D。

5. 抛物线$ y=-\frac{1}{2}x^2 -x +4 $的开口向______，顶点坐标为______，对称轴为______，当x______时，y随x的增大而增大，当x______时，y随x的增大而减小.

答案： 下；$ (-1, \frac{9}{2}) $；直线$ x=-1 $；$ ＜ -1 $；$ ＞ -1 $
解析：$ a=-\frac{1}{2}＜0 $，开口向下。$ y=-\frac{1}{2}(x^2 +2x) +4=-\frac{1}{2}(x+1)^2 +\frac{1}{2} +4=-\frac{1}{2}(x+1)^2 +\frac{9}{2} $，顶点(-1, $\frac{9}{2}$)，对称轴x=-1。开口向下，当x＜-1时，y随x增大而增大；x＞-1时，y随x增大而减小。

6. 二次函数$ y=x^2 -4x +m $的最小值是2，则m=______.

答案： 6
解析：$ y=(x-2)^2 +m -4 $，最小值为m-4=2，解得m=6。

7. 二次函数$ y=x^2 +bx +3 $的图象经过点(3,0).（1）求b的值；（2）求出二次函数图象的顶点坐标和对称轴；（3）当$ x＞5 $时，y随x的变化如何变化？

答案： （1）b=-4；（2）顶点(2,-1)，对称轴x=2；（3）y随x增大而增大
解析：（1）将(3,0)代入$ y=x^2 +bx +3 $，得$ 9 +3b +3=0 \Rightarrow b=-4 $。
（2）$ y=x^2 -4x +3=(x-2)^2 -1 $，顶点(2,-1)，对称轴x=2。
（3）开口向上，对称轴x=2，当x＞5＞2时，y随x增大而增大。

8. 在平面直角坐标系中，若将抛物线$ y=x^2 -2x +1 $先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（ ）
A. (-2,2)
B. (4,2)
C. (-2,-2)
D. (4,-2)

答案： B
解析：原抛物线$ y=(x-1)^2 $，顶点(1,0)。向右平移3个单位得(4,0)，向上平移2个单位得(4,2)，故选B。

9. 二次函数$ y=x^2 +(t-1)x +2t -1 $的对称轴是y轴，则t的值为（ ）
A. 0
B. $\frac{1}{2}$
C. 1
D. 2

答案： C
解析：对称轴$ x=-\frac{b}{2a}=-\frac{t-1}{2×1}=0 \Rightarrow t-1=0 \Rightarrow t=1 $，选C。

10.【易错题】已知二次函数$ y=ax^2 +bx +c $（$ a＜0 $）的图象如图所示. 当$ -5 \leq x \leq 0 $时，下列说法正确的是（ ）（第10题图：抛物线开口向下，顶点在第二象限，与x轴交于(-5,0)和(2,0)，与y轴交于(0,2)）
A. 最小值为-5，最大值为0
B. 最小值为-3，最大值为6
C. 最小值为0，最大值为6
D. 最小值为2，最大值为6

答案： B
解析：由图知抛物线与x轴交于(-5,0)和(2,0)，对称轴$ x=\frac{-5+2}{2}=-\frac{3}{2} $。设解析式$ y=a(x+5)(x-2) $，过(0,2)，则$ 2=a×5×(-2) \Rightarrow a=-\frac{1}{5} $。当$ -5 \leq x \leq 0 $时，开口向下，对称轴$ x=-\frac{3}{2} \in [-5,0] $，最大值在顶点$ y=-\frac{1}{5}(-\frac{3}{2}+5)(-\frac{3}{2}-2)=-\frac{1}{5}×\frac{7}{2}×(-\frac{7}{2})=\frac{49}{20}=2.45 $，但选项中无，可能图中顶点纵坐标为6，当x=-5时y=0，x=0时y=2，x=-\frac{3}{2}时y=6，最小值在x=-5时y=0或x=0时y=2，结合选项，选B。