《2025年全优点练课计划九年级数学上册人教版》

12. 【易错题】若$(a^2 + b^2 - 2)^2 = 25$，则$a^2 + b^2$的值为 （ ）
A. 7 B. 7或-3 C. -3 D. 27

答案： A
解析：设$t = a^2 + b^2 \geq 0$，则$(t - 2)^2 = 25$，开平方得$t - 2 = \pm 5$，解得$t = 7$或$t = -3$（舍去），故$a^2 + b^2 = 7$。故选A。

13. 若关于$x$的一元二次方程$ax^2 = b(ab ＞ 0)$的两个根分别为$m - 1$和$2m + 4$，则$\frac{b}{a}$的值为 （ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

答案： A
解析：方程变形为$x^2 = \frac{b}{a}$，根互为相反数，即$(m - 1) + (2m + 4) = 0$，解得$m = -1$，两根为$-2$和$2$，则$\frac{b}{a} = 2^2 = 4$。故选A。

14. 方程$(x - 1)^2 = 200^2$的根是________．

答案： $x_1 = 201, x_2 = -199$
解析：开平方得$x - 1 = \pm 200$，解得$x = 1 \pm 200$，即$x_1 = 201, x_2 = -199$。

15. 【易错题】若一元二次方程$(x - 6)^2 = 9$的两个根为等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为________．

答案： 21
解析：解方程得$x - 6 = \pm 3$，即$x = 9$或$x = 3$。若底为3，腰为9，周长为$3 + 9 + 9 = 21$；若底为9，腰为3，$3 + 3 ＜ 9$（舍去），故周长为21。

16. 用直接开平方法解一元二次方程：
（1）$4x^2 + 1 = -4x$；
（2）$(2x + 1)^2 = (x - 1)^2$．

答案： （1）$x_1 = x_2 = -\frac{1}{2}$；（2）$x_1 = -2, x_2 = 0$
解析：（1）方程变形为$(2x + 1)^2 = 0$，开平方得$2x + 1 = 0$，解得$x = -\frac{1}{2}$。
（2）开平方得$2x + 1 = \pm (x - 1)$，当$2x + 1 = x - 1$时，$x = -2$；当$2x + 1 = -(x - 1)$时，$x = 0$。

17. 对于符号“★”，我们作如下规定：$a★b = a^2 + b^2 + 1$．如$3★2 = 3^2 + 2^2 + 1 = 9 + 4 + 1 = 14$．
（1）若$3★x = 15$，求$x$的值．
（2）解方程：$(2x + 1)★2 = 5$．

答案： （1）$x = \pm \sqrt{5}$；（2）$x = -\frac{1}{2}$
解析：（1）由定义得$3^2 + x^2 + 1 = 15$，即$x^2 = 5$，解得$x = \pm \sqrt{5}$。
（2）由定义得$(2x + 1)^2 + 2^2 + 1 = 5$，即$(2x + 1)^2 = 0$，解得$x = -\frac{1}{2}$。

18. 如图，正方形$ABCD$的面积为$48\ cm^2$，正方形$EFGH$与正方形$ABCD$有相同的中心，且$BC // EH$．若阴影部分的面积是正方形$ABCD$面积的一半，求正方形$EFGH$的边长．
（第18题图）

答案： $2\sqrt{6}\ cm$
解析：正方形$ABCD$边长为$\sqrt{48} = 4\sqrt{3}\ cm$，阴影面积为$24\ cm^2$，则正方形$EFGH$面积为$48 - 24 = 24\ cm^2$，边长为$\sqrt{24} = 2\sqrt{6}\ cm$。

19. 在解一元二次方程时，发现有这样一种解法，如：解方程$x(x + 4) = 6$．
解：原方程可变形，得$[(x + 2) - 2][(x + 2) + 2] = 6$．
$\therefore (x + 2)^2 - 2^2 = 6$（根据1）．
$\therefore (x + 2)^2 = 6 + 2^2$．
$\therefore (x + 2)^2 = 10$．
直接开平方并整理，得$x_1 = -2 + \sqrt{10}, x_2 = -2 - \sqrt{10}$．
我们称这种解法为平均数法．
任务：
（1）根据1是________；
（2）用平均数法解方程$(x + 2)(x + 6) = 5$的两个解分别是$x_1 = $________，$x_2 = $________；
（3）请用平均数法解方程$(x - 3)(x + 1) = 5$．

答案： （1）平方差公式$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$；（2）$-1, -7$；（3）$x_1 = 4, x_2 = -2$
解析：（2）方程变形为$[(x + 4) - 2][(x + 4) + 2] = 5$，即$(x + 4)^2 - 4 = 5$，$(x + 4)^2 = 9$，解得$x = -1$或$x = -7$。
（3）方程变形为$[(x - 1) - 2][(x - 1) + 2] = 5$，即$(x - 1)^2 - 4 = 5$，$(x - 1)^2 = 9$，解得$x = 4$或$x = -2$。