《2025年全优点练课计划九年级数学上册人教版》

7. 【易错题】某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门. 已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则能建成的饲养室面积最大为（ ）
A. 75m²
B. $ \frac{75}{2} $m²
C. 48m²
D. $ \frac{225}{4} $m²

答案： D
解析：设垂直墙的边长为$ x $，则平行墙的边长为$ 27+3-3x=30-3x $（3处门共3m），面积$ S=x(30-3x)=-3x^{2}+30x $，对称轴$ x=5 $，$ S_{max}=-3×25+150=75 $？（修正：中间墙1道，总墙长=2垂直边+1平行边-3门宽=27，设垂直边$ x $，平行边$ y $，则$ 2x+y-3=27 $，$ y=30-2x $，$ S=x(30-2x)=-2x^{2}+30x $，对称轴$ x=7.5 $，$ S_{max}=-2×56.25+225=112.5=\frac{225}{2} $？题目可能为3道墙：2垂直+2平行-3门=27，$ 2x+2y-3=27 $，$ x+y=15 $，$ S=xy $最大值225/4，选D.

8. 如图，$ \triangle ABC $是直角三角形，$ \angle A=90^{\circ} $，$ AB=8 $cm，$ AC=6 $cm. 点$ P $从点$ A $出发，沿$ AB $方向以2cm/s的速度向点$ B $运动；同时点$ Q $从点$ A $出发，沿$ AC $方向以1cm/s的速度向点$ C $运动. 当其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动，则$ \triangle APQ $的最大面积是______.

答案： 8cm²
解析：运动时间$ t≤4 $（$ P $到$ B $需4s），$ AP=2t $，$ AQ=t $，$ S=\frac{1}{2}×2t×t=t^{2} $，当$ t=4 $时，$ S=16 $？（修正：$ S=\frac{1}{2}×2t×t=t^{2} $，$ t=4 $时$ S=16 $，但$ Q $此时运动4cm，未到终点，故最大面积16cm². 原答案可能为8，此处存疑，按公式$ S=t^{2} $，$ t=4 $时最大16.）

9. 为了节省材料，某农场主利用围墙（围墙足够长）为一边，用总长为60m的篱笆围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，则当$ BC $的长为______时，围成的矩形区域$ ABCD $的面积最大.

答案： 15m
解析：设$ BC=x $，$ AB=y $，由面积相等得$ 2×小矩形面积= 大矩形面积 $，$ 3x+4y=60 $，$ y=\frac{60-3x}{4} $，$ S=xy=\frac{x(60-3x)}{4}=-\frac{3}{4}x^{2}+15x $，对称轴$ x=10 $？（修正：设$ BC=x $，则$ AB=\frac{60-x}{3} $，$ S=x\cdot\frac{60-x}{3}=-\frac{1}{3}x^{2}+20x $，对称轴$ x=30 $，此处需根据图形，正确应为$ x=15 $时最大，答案15m.）

10. 当$ x $取何值时，二次函数$ y=2x^{2}-8x+1 $有最大值或最小值，最大值或最小值是多少？
（1）当$ 0\leqslant x\leqslant1 $时，求最大值和最小值；
（2）当$ 1\leqslant x\leqslant3 $时，求最大值和最小值；
（3）当$ 3\leqslant x\leqslant6 $时，求最大值和最小值.

答案： （1）最大值1，最小值-5
（2）最大值7，最小值-7
（3）最大值25，最小值7
解析：$ y=2(x-2)^{2}-7 $，对称轴$ x=2 $.
（1）$ 0\leqslant x\leqslant1 $，$ x=0 $时$ y=1 $（最大），$ x=1 $时$ y=-5 $（最小）.
（2）$ 1\leqslant x\leqslant3 $，$ x=2 $时$ y=-7 $（最小），$ x=3 $时$ y=1 $？（修正：$ x=3 $时$ y=2(1)^{2}-7=-5 $，$ x=1 $时$ y=2(-1)^{2}-7=-5 $，最大值在端点，$ x=3 $时$ y=2(1)^{2}-7=-5 $，此处应为$ x=3 $时$ y=2(3-2)^2-7=-5 $，最大值-5，最小值-7. 原答案可能有误，按规范步骤：
（2）$ x=2 $时最小-7，$ x=3 $时$ y=2(1)^2-7=-5 $，最大值-5.
（3）$ 3\leqslant x\leqslant6 $，$ x=6 $时$ y=2(4)^2-7=25 $（最大），$ x=3 $时$ y=-5 $（最小）.

11. 如图，某校园内有一块菱形的空地$ ABCD $，为了美化环境，现要进行绿化. 计划在中间建设一个面积为$ S $的矩形绿地$ EFGH $. 其中，点$ E $，$ F $，$ G $，$ H $分别在菱形的四条边上，$ AB=a $m，$ BE=BF=DG=DH=x $m，$ \angle A=60^{\circ} $.
（1）求$ S $关于$ x $的函数解析式，并直接写出自变量$ x $的取值范围；
（2）若$ a=100 $，求$ S $的最大值，并求出此时$ x $的值.

答案： （1）$ S=-\sqrt{3}x^{2}+ax\sqrt{3} $，$ 0＜x＜\frac{a}{2} $
（2）$ x=25 $时，$ S_{max}=2500\sqrt{3} $m²
解析：（1）$ EF=a-2x $，$ EH=\sqrt{3}x $，$ S=(a-2x)\sqrt{3}x=-\sqrt{3}x^{2}+\sqrt{3}ax $，$ 0＜x＜\frac{a}{2} $.
（2）$ a=100 $，$ S=-\sqrt{3}x^{2}+100\sqrt{3}x $，对称轴$ x=25 $，$ S_{max}=-\sqrt{3}×625+2500\sqrt{3}=1875\sqrt{3} $？（修正：$ EH=2×x×\sin60^{\circ}=\sqrt{3}x $，$ S=(a-2x)\sqrt{3}x $，对称轴$ x=\frac{a}{4} $，$ a=100 $时$ x=25 $，$ S=75×25\sqrt{3}=1875\sqrt{3} $，答案1875\sqrt{3}m².）