《2025年全优点练课计划九年级数学上册人教版》

【典例模型】如图，抛物线$ y = ax^2 + bx + c (a \neq 0) $的顶点为$ M(1, 9) $，经过抛物线上的两点$ A(-3, -7) $和$ B(3, m) $的直线交抛物线的对称轴于点$ C $。
（1）求抛物线的解析式和直线$ AB $的解析式；
（2）在抛物线$ A $，$ M $两点之间的部分（不包含$ A $，$ M $两点），是否存在点$ D $，使得$ S_{\triangle DAC} = 2S_{\triangle DCM} $？若存在，请求出点$ D $的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点$ P $在抛物线上，点$ Q $在$ x $轴上，当以$ A $，$ M $，$ P $，$ Q $为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出满足条件的点$ P $的坐标。

答案： （1）顶点$ M(1, 9) $，设$ y = a(x - 1)^2 + 9 $，代入$ A(-3, -7) $得$ -7 = 16a + 9 \Rightarrow a = -1 $，抛物线$ y = -x^2 + 2x + 8 $。直线$ AB $：$ A(-3, -7) $，$ B(3, 5) $，$ k = 2 $，$ y = 2x - 1 $。
（2）$ C(1, 1) $，设$ D(t, -t^2 + 2t + 8)(-3 ＜ t ＜ 1) $，由面积关系得$ t = -1 $，$ D(-1, 5) $。
（3）$ P(5, -17) $，$ (-5, -37) $，$ (3, 5) $。

【针对训练】4. 如图，已知抛物线$ y = ax^2 + bx - 3 (a, b $为常数，且$ a \neq 0) $与$ x $轴交于$ A $，$ B(3, 0) $两点，且$ OB = 3OA $，与$ y $轴交于点$ C $，$ D $为第四象限内抛物线上的动点，$ DE // y $轴交$ BC $所在直线于点$ E $。
（1）求抛物线的函数解析式和点$ C $的坐标；
（2）若$ F $为$ y $轴上一点，是否存在点$ D $，使得以$ C $，$ D $，$ E $，$ F $为顶点的四边形是菱形？若存在，求出所有符合条件的点$ D $的坐标；若不存在，请说明理由。

答案： （1）$ OB = 3OA $，$ B(3, 0) \Rightarrow OA = 1 $，$ A(-1, 0) $。代入得$ a - b - 3 = 0 $，$ 9a + 3b - 3 = 0 \Rightarrow a = 1 $，$ b = -2 $，解析式为$ y = x^2 - 2x - 3 $，$ C(0, -3) $。
（2）直线$ BC $：$ y = x - 3 $。设$ D(t, t^2 - 2t - 3)(t ＞ 3) $，$ E(t, t - 3) $。$ CD = DE $时，$ t = 4 $，$ D(4, 5) $（舍）；$ CE = DE $时，$ t = \sqrt{2} $，$ D(\sqrt{2}, 2 - 2\sqrt{2} - 3) $（舍），综上不存在。