《2025年全优点练课计划九年级数学上册人教版》

11. 二次函数$ y=x^2 +bx $的图象如图所示，对称轴为直线$ x=1 $. 若关于x的一元二次方程$ x^2 +bx -t=0 $（t为实数）在$ -1 ＜ x ＜4 $的范围内有解，则t的取值范围是（ ）（第11题图：抛物线对称轴x=1，开口向上）
A. $ t \geq -1 $
B. $ -1 \leq t ＜3 $
C. $ -1 \leq t ＜8 $
D. $ 3 ＜ t ＜8 $

答案： C
解析：对称轴x=1，$ -\frac{b}{2}=1 \Rightarrow b=-2 $，函数$ y=x^2 -2x=(x-1)^2 -1 $。方程$ x^2 -2x -t=0 $在-1 ＜ x ＜4有解，即t=x^2 -2x在-1 ＜ x ＜4的值域。x=1时t=-1；x=-1时t=3；x=4时t=8，故t的范围-1 ≤ t ＜8，选C。

12.【易错题】若函数$ y=mx^2 +(m+2)x +\frac{1}{2}m +1 $的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（ ）
A. 0
B. 0或2
C. 2或-2
D. 0或2或-2

答案： D
解析：当m=0时，函数为y=2x +1，与x轴有一个交点；当m≠0时，$\Delta=(m+2)^2 -4m(\frac{1}{2}m +1)=m^2 +4m +4 -2m^2 -4m=-m^2 +4=0 \Rightarrow m=±2$，故m=0或±2，选D。

13. 如图，直线$ y=mx +n $与抛物线$ y=ax^2 +bx +c $交于A(-1,p)，B(4,q)两点，则关于x的不等式$ mx +n ＞ ax^2 +bx +c $的解集是______.（第13题图：直线在抛物线上方的部分为-1 ＜ x ＜4）

答案： $ -1 ＜ x ＜4 $
解析：由图知，直线在抛物线上方时，x的范围为-1 ＜ x ＜4，故不等式解集为$ -1 ＜ x ＜4 $。

14.（辽宁中考）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
| 每件售价x/元 | … | 45 | 55 | 65 | … |
| 日销售量y/件 | … | 55 | 45 | 35 | … |
（1）求y与x之间的函数解析式.（不要求写出自变量x的取值范围）（2）该商品日销售能否达到2600元？如果能，求出每件售价；如果不能，说明理由.

答案： （1）$ y=-x +100 $；（2）不能，理由见解析
解析：（1）设$ y=kx +b $，代入(45,55)，(55,45)：$ 55=45k +b $，$ 45=55k +b $，解得k=-1，b=100，故$ y=-x +100 $。
（2）日销售额$ W=x(-x +100)=-x^2 +100x=-(x-50)^2 +2500 $，最大值2500 ＜2600，故不能达到。

15. 掷实心球是辽宁省中考体育考试的选考项目. 图1是一名女生在投实心球的实物图，实心球行进路线可近似地看作一条抛物线，行进高度$ y $（m）与水平距离$ x $（m）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处的高度为2m，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处.
（1）求$ y $关于$ x $的函数解析式.
（2）根据辽宁省中考招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，当实心球从起点到落地点的水平距离大于等于7.8m时，此项考试得分为满分10分. 该女生在此项考试中是否得满分？请说明理由.（参考数据：$ \sqrt{3}\approx1.73 $）

答案： （1）$ y=-\frac{1}{9}(x-3)^{2}+3 $
（2）得满分，理由见解析
解析：（1）设顶点式$ y=a(x-3)^{2}+3 $，代入起点$ (0,2) $得：
$ 2=a(0-3)^{2}+3 $，解得$ a=-\frac{1}{9} $，故$ y=-\frac{1}{9}(x-3)^{2}+3 $.
（2）令$ y=0 $，则$ -\frac{1}{9}(x-3)^{2}+3=0 $
$ (x-3)^{2}=27 $，$ x=3±3\sqrt{3} $.
正根$ x=3+3\sqrt{3}\approx3+3×1.73=8.19＞7.8 $，故得满分.