《2025年全优点练课计划九年级数学上册人教版》

（3）如图3，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长.[可利用（2）得到的结论]

答案： 6
解析：设AH=AB=x，由（2）知AB=AH。MN=MH+NH=5，由△AEM≌△ANM得EM=MN=5。设BM=m，DN=n，则m+n=5。在Rt△MCN中，$(x-m)^2+(x-n)^2=5^2$。由勾股定理$AM^2=x^2+m^2=AH^2+MH^2=x^2+4$得m=2，同理n=3。代入$(x-2)^2+(x-3)^2=25$，解得x=6（x=-1舍），故AH=6。

3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD。求证：EF=BE+FD.

答案： 证明：旋转△ADF至△ABF'（F'在CB延长线上），则AF=AF'，∠BAF'=∠DAF，BF'=DF。
∵∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠EAF=∠BAE+∠DAF=∠BAE+∠BAF'=∠EAF'。又AE=AE，
∴△AEF≌△AEF'，
∴EF=EF'=BE+BF'=BE+FD。

4.（1）如图1，若四边形ABCD为正方形，当∠EAF=45°时，EF与DF，BE之间有怎样的数量关系？（直接写出结论）

答案： EF=DF-BE
解析：旋转△ABE至△ADG（G在CD延长线上），则AE=AG，∠DAG=∠BAE，BE=DG。∠GAF=∠EAF=45°，AF=AF，
∴△AGF≌△AEF，
∴EF=GF=DF-DG=DF-BE。