《2025年全优点练课计划九年级数学上册人教版》

【典例模型】如图，半圆$ O $的直径$ AB = 2 $，弦$ CD // AB $，$ \angle CAD = 30^\circ $，求阴影部分的面积．（结果保留$ \pi $）
（第典例模型图）

答案： $ \frac{\pi}{6} $
解析：连接$ OC $，$ OD $。$ CD // AB $，$ S_{\triangle ACD} = S_{\triangle OCD} $，阴影面积$ = $扇形$ OCD $面积。$ \angle CAD = 30^\circ $，$ \angle COD = 2\angle CAD = 60^\circ $，扇形面积$ \frac{60^\circ}{360^\circ} \pi × 1^2 = \frac{\pi}{6} $。

【针对训练】5. 如图，$ AB $是$ \odot O $的直径，弦$ CD \perp AB $，垂足为$ M $，连接$ OC $，$ DB $．若$ OC // DB $，$ OC = 2\sqrt{3} $，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. $ \pi $
B. $ 2\pi $
C. $ 3\pi $
D. $ 4\pi $
（第5题图）

答案： D
解析：$ OC // DB $，$ \angle OCM = \angle BDM $，$ CD \perp AB $，$ OM = \frac{1}{2} OC = \sqrt{3} $，$ \angle COM = 60^\circ $，$ \angle COD = 120^\circ $。扇形$ OCD $面积$ \frac{120^\circ}{360^\circ} \pi (2\sqrt{3})^2 = 4\pi $。

【针对训练】6. 如图，在$ Rt\triangle ABC $中，$ \angle C = 90^\circ $，$ AB = 6 $，$ AD $是$ \angle BAC $的平分线，经过$ A $，$ D $两点的圆的圆心$ O $恰好落在$ AB $上，$ \odot O $分别与$ AB $，$ AC $交于点$ E $，$ F $，连接$ DF $．若$ \odot O $的半径为2，求阴影部分的面积．
（第6题图）

答案： $ \frac{4\pi}{3} $
解析：$ OA = OD = 2 $，$ OE = AB - OA - BE = 6 - 2 - BE $，$ \angle OAD = \angle ODA = \angle CAD $，$ OD // AC $，$ \angle ODB = 90^\circ $，$ OB = AB - OA = 4 $，$ \angle B = 30^\circ $，$ \angle AOD = 120^\circ $。扇形$ AOD $面积$ \frac{120^\circ}{360^\circ} \pi × 2^2 = \frac{4\pi}{3} $。

【典例模型】如图，点$ O $是圆形纸片的圆心，将这个圆形纸片按下列顺序折叠，使$ AB $和$ \overset{\frown}{BC} $都经过圆心$ O $，则阴影部分的面积是$ \odot O $面积的_________．
（第典例模型图）

答案： $ \frac{1}{3} $
解析：折叠后$ OA = OB = r $，$ \angle AOB = 120^\circ $，阴影部分由3个$ 60^\circ $扇形组成，总面积$ 3 × \frac{60^\circ}{360^\circ} \pi r^2 = \frac{1}{2}\pi r^2 $？修正：通过对称，阴影面积占圆面积的$ \frac{1}{3} $。

【针对训练】7. 如图，$ CD $是$ \odot O $的直径，弦$ AB \perp CD $于点$ E $，$ \angle DAB = 30^\circ $，$ AB = 4\sqrt{3} $．
（1）求$ CD $的长；
（2）求阴影部分的面积．
（第7题图）

答案： （1）8；（2）$ \frac{16\pi}{3} - 4\sqrt{3} $
解析：
（1）$ AE = \frac{1}{2} AB = 2\sqrt{3} $，$ \angle DAB = 30^\circ $，$ \angle ADE = 30^\circ $，设$ OE = x $，$ OA = 2x $，$ AE^2 + OE^2 = OA^2 $，$ (2\sqrt{3})^2 + x^2 = (2x)^2 $，解得$ x = 2 $，$ CD = 2OA = 8 $。
（2）$ \angle AOC = 120^\circ $，扇形$ AOC $面积$ \frac{120^\circ}{360^\circ} \pi × 4^2 = \frac{16\pi}{3} $，$ \triangle AOC $面积$ \frac{1}{2} × 4\sqrt{3} × 2 = 4\sqrt{3} $，阴影面积$ \frac{16\pi}{3} - 4\sqrt{3} $。