《2025年全优点练课计划九年级数学上册人教版》

【典例模型】如图，二次函数$y=x² + bx + c$的图象交x轴于点$A(-3,0)$，$B(1,0)$，交y轴于点C. $P(m,0)$是x轴上的一个动点，$PM⊥x$轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N.
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若点P仅在线段OA上运动，求线段MN的最大值.

答案： （1）$y=x² + 2x - 3$
解析：设$y=(x + \frac{3}{2})² - \frac{21}{4}$，代入$A(-3,0)$得$c=-3$，$b=2$。
（2）$\frac{9}{4}$
解析：AC：$y=-x - 3$，$M(m,-m - 3)$，$N(m,m² + 2m - 3)$，$MN=-m² - 3m=-(m + \frac{3}{2})² + \frac{9}{4}$，最大值$\frac{9}{4}$。

【针对训练】1. 如图，抛物线$ y = x^2 + bx + c $与$ x $轴交于点$ A(3, 0) $，与$ y $轴交于点$ B(0, -3) $，连接$ AB $。
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若$ P $为直线$ AB $下方抛物线上一动点，过点$ P $作$ PC \perp x $轴，垂足为$ C $，$ PC $交$ AB $于点$ D $，当$ D $是$ CP $的三等分点时，求点$ P $的坐标。

答案： （1）代入$ A(3, 0) $，$ B(0, -3) $得$ c = -3 $，$ 9 + 3b - 3 = 0 \Rightarrow b = -2 $，解析式为$ y = x^2 - 2x - 3 $。
（2）直线$ AB $：$ y = x - 3 $。设$ P(t, t^2 - 2t - 3) $，则$ D(t, t - 3) $，$ CP = 0 - (t^2 - 2t - 3) = -t^2 + 2t + 3 $，$ CD = 3 - t $。
当$ CD = \frac{1}{3}CP $时，$ 3 - t = \frac{1}{3}(-t^2 + 2t + 3) \Rightarrow t = 2 $（$ t = 3 $舍），$ P(2, -3) $；
当$ CD = \frac{2}{3}CP $时，$ 3 - t = \frac{2}{3}(-t^2 + 2t + 3) \Rightarrow t = \frac{1}{2} $，$ P\left( \frac{1}{2}, -\frac{15}{4} \right) $。
综上，$ P(2, -3) $或$ \left( \frac{1}{2}, -\frac{15}{4} \right) $。