《2025年全优点练课计划九年级数学上册人教版》

8. 如图，$AB$是$\odot O$的直径，$BC$交$\odot O$于点$D$，$DE\perp AC$于点$E$. 要使$DE$是$\odot O$的切线，需添加的一个条件是_______.（不添加其他字母和线条）

答案： $D$是$BC$的中点（或$DE// AB$等）
解析：连接$OD$，若$D$是$BC$中点，则$OD// AC$，$DE\perp AC$得$OD\perp DE$，切线.

9. 如图，$AB$是$\odot O$的弦，$OC\perp OA$，且交$AB$于点$C$，过点$B$的直线交$OC$的延长线于点$E$. 当$CE=BE$时，直线$BE$与$\odot O$有怎样的位置关系？请说明理由.

答案： 相切
解析：连接$OB$，$\because CE=BE$，$\therefore \angle ECB=\angle EBC$.
$\because OC\perp OA$，$\therefore \angle OAC+\angle OCA=90^\circ$.
$\because OA=OB$，$\therefore \angle OAC=\angle OBC$，$\angle OCA=\angle ECB=\angle EBC$，
$\therefore \angle OBC+\angle EBC=90^\circ$，即$OB\perp BE$，$\therefore BE$是切线.

10. 已知四边形$OABC$是菱形，以点$O$为圆心作$\odot O$，与$BC$相切于点$D$，交$OA$于点$E$，交$OC$于点$F$，连接$OD$. 求证：$AB$是$\odot O$的切线.

答案： 证明：作$OG\perp AB$于$G$，$\because BC$切$\odot O$于$D$，$\therefore OD\perp BC$，$OD$为半径.
$\because$菱形$OABC$，$\therefore AB// OC$，$BC// OA$，点$O$到$AB$距离$OG=OD$（平行线间距离相等），
$\therefore OG$为半径，$OG\perp AB$，$\therefore AB$是$\odot O$的切线.

11. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，以$AB$为直径作$\odot O$，与$BC$交于点$D$，过点$D$作$AC$的垂线，垂足为$E$. 求证：
（1）$D$是$BC$的中点；
（2）$DE$是$\odot O$的切线.

答案： （1）连接$AD$，$\because AB$为直径，$\therefore \angle ADB=90^\circ$，又$AB=AC$，$\therefore D$是$BC$中点.
（2）连接$OD$，$\because D$是$BC$中点，$O$是$AB$中点，$\therefore OD// AC$. $\because DE\perp AC$，$\therefore OD\perp DE$，又$OD$为半径，$\therefore DE$是切线.

12. 已知$\triangle ABC$内接于$\odot O$，过点$A$作直线$EF$.
（1）如图1，若$AB$是$\odot O$的直径，要使$EF$成为$\odot O$的切线，还需要添加的一个条件是（要求写出两种情况）：_______或_______.
（2）如图2，如果$AB$是不过圆心$O$的弦，且$\angle CAE=\angle B$，那么$EF$是$\odot O$的切线吗？请证明你的判断.

答案： （1）$\angle BAE=90^\circ$；$\angle EAC=\angle B$；
（2）是切线，证明：连接$AO$并延长交$\odot O$于$D$，连接$CD$，则$\angle ACD=90^\circ$，$\angle D=\angle B=\angle CAE$，$\therefore \angle CAE+\angle CAD=90^\circ$，即$OA\perp EF$，$\therefore EF$是切线.