《2025年全优点练课计划九年级数学上册人教版》

6. 如图，以△ABC的边BC上的一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与边BC交于点E，D为ˆBE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于点F，连接OD，若AC=FC．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BF=4，DF=√10，求⊙O的半径．

答案： （1）证明：连接OA，
∵D是ˆBE中点，OD⊥BC，∠DOF=90°．
∵AC=FC，
∴∠CAF=∠CFA=∠OFD．
∵OA=OD，∠OAD=∠ODA，∠OFD+∠ODF=90°，
∴∠CAF+∠OAD=90°，OA⊥AC，AC是切线．
（2）解：设半径为r，OF=BF-OB=4-r，OD=r，在Rt△ODF中，OD²+OF²=DF²，即r²+(4-r)²=(√10)²，解得r=3（r=1舍去）．

7. 如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC，BC．
（1）猜想：线段OD与BC有何数量关系和位置关系？证明你的结论；
（2）求证：PC是⊙O的切线．

答案： （1）解：OD=1/2BC，OD//BC．证明：
∵OD⊥AC，
∴AD=CD，
∵OA=OB，
∴OD是△ABC中位线，
∴OD=1/2BC，OD//BC．
（2）证明：连接OC，
∵AP是切线，OA⊥AP，∠OAP=90°．
∵OD=1/2BC，OP//BC，∠AOP=∠ABC，∠COP=∠OCB=∠ABC，
∴∠AOP=∠COP．
∵OA=OC，OP=OP，
∴△OAP≌△OCP（SAS），∠OCP=∠OAP=90°，PC是切线．

8. 如图，PB切⊙O于点B，连接PO并延长交⊙O于点E，过点B作BA⊥PE交⊙O于点A，交PE于点D，连接AP，AE．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）如果OD=3，AD:DE=1:2，求⊙O的半径．

答案： （1）证明：连接OA，OB，
∵PB是切线，OB⊥PB，∠OBP=90°．
∵BA⊥PE，
∴AD=BD（垂径定理），OP垂直平分AB，
∴PA=PB．
∵OA=OB，OP=OP，
∴△OAP≌△OBP（SSS），∠OAP=∠OBP=90°，PA是切线．
（2）解：设AD=x，DE=2x，AE=3x，OD=3，设半径为r，OE=r，DE=OD+OE=3+r=2x，AD=x=(3+r)/2．在Rt△AOD中，AD²+OD²=OA²，即[(3+r)/2]²+3²=r²，解得r=5（r=-3舍去）．