《2025年全优点练课计划九年级数学上册人教版》

1. 用配方法将代数式$a^2 + 4a - 5$变形，结果正确的是 （ ）
A. $(a + 2)^2 - 1$ B. $(a + 2)^2 - 5$ C. $(a + 2)^2 + 4$ D. $(a + 2)^2 - 9$

答案： D
解析：$a^2 + 4a - 5 = (a^2 + 4a + 4) - 4 - 5 = (a + 2)^2 - 9$。故选D。

2. 【易错题】若$-2x^2 + 4x - 7 = -2(x + m)^2 + n$，则$m, n$的值为 （ ）
A. $m = 1, n = -5$ B. $m = -1, n = -5$ C. $m = 1, n = 9$ D. $m = -1, n = -9$

答案： B
解析：右边展开得$-2x^2 - 4mx - 2m^2 + n$，对比系数得$-4m = 4$，$-2m^2 + n = -7$，解得$m = -1$，$n = -5$。故选B。

3. 用配方法将下列各式化为$a(x + m)^2 + n$的形式：
（1）$x^2 + \sqrt{5}x + 2 = (x + \_\_\_\_)^2 + \_\_\_\_$；
（2）$2x^2 + 5x + 4 = 2(x + \_\_\_\_)^2 + \_\_\_\_$；
（3）$\frac{1}{4}x^2 + x - 2 = \_\_\_\_(x + \_\_\_\_)^2 + \_\_\_\_$．

答案： （1）$\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\frac{3}{4}$；（2）$\frac{5}{4}$，$\frac{7}{8}$；（3）$\frac{1}{4}$，$2$，$-3$
解析：（1）$x^2 + \sqrt{5}x + (\frac{\sqrt{5}}{2})^2 - (\frac{\sqrt{5}}{2})^2 + 2 = (x + \frac{\sqrt{5}}{2})^2 + \frac{3}{4}$。
（2）$2(x^2 + \frac{5}{2}x) + 4 = 2[(x + \frac{5}{4})^2 - \frac{25}{16}] + 4 = 2(x + \frac{5}{4})^2 + \frac{7}{8}$。
（3）$\frac{1}{4}(x^2 + 4x) - 2 = \frac{1}{4}[(x + 2)^2 - 4] - 2 = \frac{1}{4}(x + 2)^2 - 3$。

4. （新疆中考）用配方法解一元二次方程$x^2 - 6x + 8 = 0$配方后得到的方程是 （ ）
A. $(x + 6)^2 = 28$ B. $(x - 6)^2 = 28$ C. $(x + 3)^2 = 1$ D. $(x - 3)^2 = 1$

答案： D
解析：方程变形为$x^2 - 6x = -8$，配方得$x^2 - 6x + 9 = 1$，即$(x - 3)^2 = 1$。故选D。

5. （东营中考）一元二次方程$x^2 + 4x - 8 = 0$的解是 （ ）
A. $x_1 = 2 + 2\sqrt{3}, x_2 = 2 - 2\sqrt{3}$ B. $x_1 = 2 + 2\sqrt{2}, x_2 = 2 - 2\sqrt{2}$
C. $x_1 = -2 + 2\sqrt{2}, x_2 = -2 - 2\sqrt{2}$ D. $x_1 = -2 + 2\sqrt{3}, x_2 = -2 - 2\sqrt{3}$

答案： D
解析：方程变形为$x^2 + 4x = 8$，配方得$(x + 2)^2 = 12$，开平方得$x = -2 \pm 2\sqrt{3}$。故选D。

6. 若关于$x$的一元二次方程$x^2 + 6x + c = 0$配方后得到方程$(x + 3)^2 = 2c$，则$c$的值为________．

答案： 3
解析：方程$x^2 + 6x + c = 0$配方得$(x + 3)^2 = 9 - c$，由题意得$9 - c = 2c$，解得$c = 3$。

7. 小明同学解一元二次方程$x^2 - 2x - 2 = 0$的过程如下：
解：$x^2 - 2x = 2$． …………………… 第一步
$x^2 - 2x + 1 = 2$． …………………… 第二步
$(x - 1)^2 = 2$． …………………… 第三步
$x - 1 = \pm \sqrt{2}$． …………………… 第四步
$x_1 = 1 + \sqrt{2}, x_2 = 1 - \sqrt{2}$． … 第五步
（1）小明解方程的方法是________，他的求解过程从第________步开始出现错误；
（2）请用小明的方法写出正确的解题过程．

答案： （1）配方法；二
（2）正确解题过程：$x^2 - 2x = 2$，$x^2 - 2x + 1 = 2 + 1$，$(x - 1)^2 = 3$，$x - 1 = \pm \sqrt{3}$，$x_1 = 1 + \sqrt{3}, x_2 = 1 - \sqrt{3}$。

8. 用配方法解下列方程：
（1）$x^2 + 2x - 3 = 0$；
（2）$x^2 - 8x + 7 = 0$．

答案： （1）$x_1 = 1, x_2 = -3$；（2）$x_1 = 7, x_2 = 1$
解析：（1）$x^2 + 2x = 3$，$x^2 + 2x + 1 = 4$，$(x + 1)^2 = 4$，$x = -1 \pm 2$，解得$x = 1$或$x = -3$。
（2）$x^2 - 8x = -7$，$x^2 - 8x + 16 = 9$，$(x - 4)^2 = 9$，$x = 4 \pm 3$，解得$x = 7$或$x = 1$。

9. （聊城中考）用配方法解一元二次方程$3x^2 + 6x - 1 = 0$时，将它化为$(x + a)^2 = b$的形式，则$a + b$的值为 （ ）
A. $\frac{10}{3}$ B. $\frac{7}{3}$ C. 2 D. $\frac{4}{3}$

答案： B
解析：方程变形为$x^2 + 2x = \frac{1}{3}$，配方得$(x + 1)^2 = \frac{4}{3}$，则$a = 1$，$b = \frac{4}{3}$，$a + b = \frac{7}{3}$。故选B。

10. 若关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a, b, c$是常数，$a \neq 0)$配方后为$(x - 2)^2 = d$（$d$是常数），则$\frac{b}{a} = $________．

答案： -4
解析：展开$(x - 2)^2 = d$得$x^2 - 4x + 4 - d = 0$，对比$ax^2 + bx + c = 0$，得$a = 1$，$b = -4$，则$\frac{b}{a} = -4$。