《2025年全优点练课计划九年级数学上册人教版》

10.（济南中考）关于$x$的一元二次方程$x^{2}-4x + 2a = 0$有实数根，则$a$的值可以是______.（写出一个即可）

答案： 2（答案不唯一）
解析：$\Delta=16 - 8a\geq0$，解得$a\leq2$，可取$a=2$。

11.【易错题】已知关于$x$的方程$kx^{2}-3x + 1 = 0$有实数根，则$k$的取值范围是______.
变式1：若关于$x$的一元二次方程方程$(m - 1)x^{2}+2mx + m - 2 = 0$有实数根，则$m$的取值范围是______.
变式2：若关于$x$的方程$(k + 1)x^{2}-2kx + k - 5 = 0$有两个实数根，则$k$的取值范围是______.

答案： $k\leq\frac{9}{4}$
解析：当$k=0$时，方程为$-3x + 1 = 0$有实根；当$k\neq0$时，$\Delta=9 - 4k\geq0$，解得$k\leq\frac{9}{4}$，综上$k\leq\frac{9}{4}$。
变式1：$m\geq\frac{2}{3}$
解析：当$m=1$时，方程为$2x - 1 = 0$有实根；当$m\neq1$时，$\Delta=4m^{2}-4(m - 1)(m - 2)=12m - 8\geq0$，解得$m\geq\frac{2}{3}$，综上$m\geq\frac{2}{3}$。
变式2：$k\geq-\frac{5}{4}$且$k\neq-1$
解析：$k + 1\neq0$，$\Delta=4k^{2}-4(k + 1)(k - 5)=16k + 20\geq0$，解得$k\geq-\frac{5}{4}$且$k\neq-1$。

12.【易错题】定义：方程$cx^{2}+bx + a = 0$是方程$ax^{2}+bx + c = 0$（$a\neq c\neq0$）的“倒方程”.
现有下列四个结论：①如果$x=-2$是$x^{2}+2x + c = 0$的“倒方程”的一个解，则$c=-\frac{3}{4}$；②一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$与它的“倒方程”有公共解；③若一元二次方程$ax^{2}-2x + c = 0$无解，则它的“倒方程”也无解；④若$ac＜0$，则$ax^{2}+bx + c = 0$与它的“倒方程”都有两个不相等的实数根. 其中正确的有______.（填序号）

答案： ②③④
解析：①“倒方程”为$cx^{2}+2x + 1 = 0$，代入$x=-2$得$4c - 4 + 1 = 0$，$c=\frac{3}{4}$，错误；②公共解$x=1$或$x=-1$，正确；③原方程$\Delta=4 - 4ac＜0$，“倒方程”$\Delta=4 - 4ac＜0$，正确；④原方程$\Delta=b^{2}-4ac＞0$，“倒方程”$\Delta=b^{2}-4ac＞0$，正确，故正确的是②③④。

13. 已知关于$x$的方程$x^{2}-(k + 3)x + 3k = 0$.
(1) 若该方程的一个根为$x = 1$，求$k$的值.
(2) 求证：不论$k$取何值，该方程总有两个实数根.

答案：
(1) $1$
解析：将$x=1$代入方程得$1 - (k + 3) + 3k=0$，解得$k=1$。
(2) 证明：$\Delta=(k + 3)^{2}-12k=(k - 3)^{2}\geq0$，所以不论$k$取何值，方程总有两个实数根。

14. 关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2(m + 1)x + m^{2}+5 = 0$有实数根.
(1) 求$m$的取值范围；
(2) 已知等腰三角形$ABC$的底边长为$4$，另外两边的长恰好是方程的两个根，求$\triangle ABC$的周长.

答案：
(1) $m\geq2$
解析：$\Delta=4(m + 1)^{2}-4(m^{2}+5)=8m - 16\geq0$，解得$m\geq2$。
(2) $10$
解析：方程有两个相等实根时，$\Delta=0$，$m=2$，方程为$x^{2}-6x + 9 = 0$，根为$3$，三角形三边长$3$，$3$，$4$，周长$3 + 3 + 4=10$。

15.【易错题】已知关于$x$的方程$ax^{2}+8x + 6 = 0$.
(1) 若方程有实数根，求$a$的取值范围；
(2) 若$a$为正整数，且方程的两个根也是整数，求$a$的值.

答案：
(1) $a\leq\frac{8}{3}$
解析：当$a=0$时，方程为$8x + 6 = 0$有实根；当$a\neq0$时，$\Delta=64 - 24a\geq0$，解得$a\leq\frac{8}{3}$，综上$a\leq\frac{8}{3}$。
(2) $2$
解析：$a$为正整数，$a=1$或$2$，$a=1$时方程根不是整数；$a=2$时方程为$2x^{2}+8x + 6 = 0$，根为$x=-1$或$x=-3$，符合题意，所以$a=2$。