《2025年全优点练课计划九年级数学上册人教版》

20. (10分) 如图，$A$，$B$，$C$，$D$ 为矩形的四个顶点，$AB = 16\ cm$，$AD = 6\ cm$，动点 $P$，$Q$ 分别从点 $A$，$C$ 同时出发，点 $P$ 以 $3\ cm/s$ 的速度向点 $B$ 运动，一直到达点 $B$ 为止，点 $Q$ 以 $2\ cm/s$ 的速度向点 $D$ 运动，当点 $P$ 到达点 $B$ 时点 $Q$ 随之停止运动。
(1) 设 $P$，$Q$ 两点的运动时间为 $t\ s$，四边形 $PBCQ$ 的面积为 $S\ cm^2$。求出 $S$ 与 $t$ 之间的函数解析式；
(2) 当 $t$ 为多少时，四边形 $PBCQ$ 的面积为 $33\ cm^2$？
(3) 当 $t$ 为多少时，点 $P$ 和点 $Q$ 的距离为 $10\ cm$？（第20题图）

答案：
(1) $S = -3t + 48$（$0 \leq t \leq \frac{16}{3}$）
解析：$P$ 运动 $t\ s$ 后，$AP = 3t$，$PB = 16 - 3t$；$Q$ 运动 $t\ s$ 后，$CQ = 2t$。四边形 $PBCQ$ 为梯形，上底$CQ = 2t$，下底$PB = 16 - 3t$，高$BC = 6$，$S = \frac{(2t + 16 - 3t) × 6}{2} = -3t + 48$。
(2) $t = 5$
解析：令$-3t + 48 = 33$，解得$t = 5$（满足$0 \leq 5 \leq \frac{16}{3}$）。
(3) $t = \frac{8}{5}$ 或 $t = \frac{24}{5}$
解析：以$B$为原点，$BC$为$x$轴，$BA$为$y$轴，$P(0, 16 - 3t)$，$Q(6, 2t)$（坐标需根据矩形顶点正确设定，此处假设$BC = 6$为高），距离$\sqrt{(6 - 0)^2 + (2t - (16 - 3t))^2} = 10$，即$\sqrt{36 + (5t - 16)^2} = 10$，平方得$(5t - 16)^2 = 64$，$5t - 16 = \pm 8$，解得$t = \frac{24}{5}$或$t = \frac{8}{5}$（均在范围内）。

21. (12分) 我们知道，求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为 $x = a$ 的形式...【问题】(1) 方程 $x^3 - x = 0$ 的解是 $x_1 = 0$，$x_2 = $______，$x_3 = $______。
【拓展】(2) 用“转化”思想解方程：$\sqrt{4x + 13} = x + 2$。
【应用】(3) 如图，已知矩形草坪 $ABCD$ 的宽 $AB = 8\ m$，小华把一根长为 $27\ m$ 的绳子的一端固定在点 $B$ 处，沿草坪边沿 $BA$，$AD$ 走到点 $P$ 处，且 $AP:PD = 2:5$，把长绳 $PB$ 段拉直并固定在点 $P$，然后沿草坪边沿 $PD$，$DC$ 走到点 $C$ 处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点 $C$ 处。求 $BP$ 的长。（第21题图）

答案：
(1) $1$，$-1$
解析：$x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x - 1)(x + 1) = 0$，解得$x = 0$，$x = 1$，$x = -1$。
(2) $x = 3$
解析：两边平方$4x + 13 = (x + 2)^2$，即$x^2 + 4x + 4 = 4x + 13$，$x^2 = 9$，$x = 3$或$x = -3$（检验$x = -3$时左边$\sqrt{1} = 1$≠右边$-1$，舍去），故$x = 3$。
(3) $9\ m$
解析：设$AP = 2k$，$PD = 5k$，则$AD = 7k$，$BP = \sqrt{(8)^2 + (2k)^2}$，剩余绳长$PD + DC = 5k + 8$，$BP + 5k + 8 = 27$，即$\sqrt{64 + 4k^2} = 19 - 5k$。平方得$64 + 4k^2 = 361 - 190k + 25k^2$，$21k^2 - 190k + 297 = 0$，解得$k = 3$（$k = \frac{99}{21}$舍去），$BP = 19 - 5×3 = 9\ m$。