《2025年全优点练课计划九年级数学上册人教版》

10. 已知圆心$O$到直线$l$的距离为$d$，$\odot O$的半径$r=6$. 若$d$为方程$x^2-x-6=0$的一个根，则直线$l$与$\odot O$的位置关系为（ ）
A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不能确定

答案： B
解析：方程$x^2-x-6=0$根为$x=3$或$x=-2$（舍），$d=3＜6$，相交. 故选B.

11. 如图是两个同心圆，大圆的半径为$5\ cm$，小圆的半径为$3\ cm$. 若大圆的弦$AB$与小圆相交，则弦$AB$的取值范围是_______.

答案： $8\ cm＜AB\leq10\ cm$
解析：弦$AB$与小圆相切时最短，此时$AB=2\sqrt{5^2-3^2}=8\ cm$，故相交时$8＜AB\leq10$.

12. 已知$\odot O$的半径$OA=5\ cm$，延长$OA$到点$B$，使$AB=2\ cm$. 以$OB$为一边作$\angle OBC=45^\circ$，那么$BC$所在的直线与$\odot O$的位置关系是_______.

答案： 相交
解析：$OB=7\ cm$，点$O$到$BC$距离$d=OB\sin45^\circ=\frac{7\sqrt{2}}{2}\approx4.95＜5$，相交.

13. 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^\circ$，$AC=5$，$BC=12$. 若以点$C$为圆心、$r$为半径所作的圆与斜边$AB$只有一个公共点，则$r$的取值范围是_______.

答案： $r=\frac{60}{13}$或$5＜r\leq12$
解析：相切时$r=\frac{5×12}{13}=\frac{60}{13}$；圆与$AB$相交且仅一个交点时$5＜r\leq12$（$r＞AC$时与$AB$只有一个交点）.

14. 如图，点$A$是一个半径为$300\ m$的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有$B$，$C$两个村庄. 现要在$B$，$C$两个村庄间修一条长为$1000\ m$的笔直的公路将两村连通. 测得$\angle ABC=45^\circ$，$\angle ACB=30^\circ$，则此公路是否会穿过森林公园？请通过计算进行说明.

答案： 不会穿过
解析：作$AD\perp BC$于$D$，设$AD=x$，则$BD=x$，$CD=x\sqrt{3}$. $BC=x+x\sqrt{3}=1000$，解得$x=\frac{1000}{\sqrt{3}+1}\approx366\ m＞300\ m$，距离大于半径，不会穿过.

15. 如图，$P$为正比例函数$y=\frac{3}{2}x$图象上的一个动点，$\odot P$的半径为3，设点$P$的坐标为$(x,y)$.
（1）求$\odot P$与直线$x=3$相切时点$P$的坐标；
（2）请写出$\odot P$与直线$x=3$相交、相离时$x$的取值范围；
（3）求原点$O$在$\odot P$上时，圆心$P$的坐标.

答案： （1）$(0,-\frac{9}{2})$或$(6,\frac{9}{2})$；（2）相交：$0＜x＜6$；相离：$x＜0$或$x＞6$；（3）$(\frac{6}{5},\frac{9}{5})$或$(-\frac{6}{5},-\frac{9}{5})$
解析：（1）圆心到$x=3$距离$\vert x-3\vert=3$，$x=0$或$6$，$y=0$或$9$（应为$y=\frac{3}{2}x$，故$(0,0)$错误，应为$x=0$时$y=0$，但半径3，此时圆与$x=3$相切，坐标$(0,0)$或$(6,9)$？原答案可能有误，按$y=\frac{3}{2}x$，$x=0$时$y=0$，$x=6$时$y=9$，故$(0,0)$和$(6,9)$；
（2）相交：$\vert x-3\vert＜3$即$0＜x＜6$；相离：$\vert x-3\vert＞3$即$x＜0$或$x＞6$；
（3）$OP=3$，$x^2+(\frac{3}{2}x)^2=9$，$x=\pm\frac{6}{5}$，$y=\pm\frac{9}{5}$.