《2025年全优点练课计划九年级数学上册人教版》

1. 现有下列关于 $ x $ 的方程：①$ ax^2 + bx + c = 0 $；②$ 3(x - 9)^2 - (x + 1)^2 = 1 $；③$ x + 3 = \frac{1}{x} $；④$ (a^2 + 1)x^2 - a = 0 $；⑤$ \sqrt{x + 1} = x - 1 $. 其中一元二次方程有（ ）
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

答案： B
解析：①当 $ a = 0 $ 时不是；②是；③分式方程；④是（$ a^2 + 1 \neq 0 $）；⑤无理方程，共 2 个，选 B。

2. 一元二次方程 $ x^2 + kx - 3 = 0 $ 的一个根为 $ x = 1 $，则 $ k $ 的值为（ ）
A. 2 B. -2 C. 3 D. -3

答案： A
解析：代入 $ x = 1 $ 得 $ 1 + k - 3 = 0 $，$ k = 2 $。

3. 用配方法解方程 $ 2x^2 - 4x + 1 = 0 $ 时，方程可变形为（ ）
A. $ (x - 2)^2 = \frac{1}{2} $ B. $ 2(x - 2)^2 = \frac{1}{2} $
C. $ (x - 1)^2 = \frac{1}{2} $ D. $ (2x - 1)^2 = 1 $

答案： C
解析：$ 2x^2 - 4x = -1 $，$ x^2 - 2x = -\frac{1}{2} $，$ (x - 1)^2 = \frac{1}{2} $。

4. 若关于 $ x $ 的一元二次方程的根为 $ x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4×1×(-4)}}{2×1} $，则这个方程是（ ）
A. $ x^2 + 2x + 4 = 0 $ B. $ x^2 - 2x + 4 = 0 $
C. $ x^2 + 2x - 4 = 0 $ D. $ x^2 - 2x - 4 = 0 $

答案： C
解析：由求根公式知 $ a = 1 $，$ b = 2 $，$ c = -4 $，方程为 $ x^2 + 2x - 4 = 0 $。

5. （眉山中考）关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - 2x + m - 2 = 0 $ 有两个不相等的实数根，则 $ m $ 的取值范围是（ ）
A. $ m ＜ \frac{3}{2} $ B. $ m ＞ 3 $ C. $ m \leq 3 $ D. $ m ＜ 3 $

答案： D
解析：判别式 $ 4 - 4(m - 2) ＞ 0 $，$ 4 - 4m + 8 ＞ 0 $，$ m ＜ 3 $。

6. 已知方程 $ x^2 + 3x - 4 = 0 $ 的解是 $ x_1 = 1 $，$ x_2 = -4 $，则方程 $ (2x + 3)^2 + 3(2x + 3) - 4 = 0 $ 的解是（ ）
A. $ x_1 = -1 $，$ x_2 = -3.5 $ B. $ x_1 = 1 $，$ x_2 = -3.5 $
C. $ x_1 = 1 $，$ x_2 = 3.5 $ D. $ x_1 = -1 $，$ x_2 = 3.5 $

答案： A
解析：设 $ y = 2x + 3 $，方程为 $ y^2 + 3y - 4 = 0 $，解得 $ y = 1 $（$ 2x + 3 = 1 $，$ x = -1 $）或 $ y = -4 $（$ 2x + 3 = -4 $，$ x = -3.5 $）。

7. 【数学文化】《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短. 横放，竿比门宽长出 4 尺；竖放，竿比门高长出 2 尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等. 问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为 $ x $ 尺，下列方程符合题意的是（ ）
A. $ (x + 2)^2 + (x - 4)^2 = x^2 $ B. $ (x - 2)^2 + (x - 4)^2 = x^2 $
C. $ x^2 + (x - 2)^2 = (x - 4)^2 $ D. $ (x - 2)^2 + x^2 = (x + 4)^2 $

答案： A
解析：门高 $ x - 2 $，宽 $ x - 4 $，由勾股定理 $ (x - 2)^2 + (x - 4)^2 = x^2 $，故选 A。

8. 如果 $ m $，$ n $ 是一元二次方程 $ x^2 - x - 3 = 0 $ 的两个实数根，那么多项式 $ n^2 - mn + m $ 的值是（ ）
A. -3 B. 4 C. 5 D. 7

答案： D
解析：由根与系数关系 $ m + n = 1 $，$ mn = -3 $，且 $ n^2 = n + 3 $。则 $ n^2 - mn + m = n + 3 - mn + m = (m + n) - mn + 3 = 1 - (-3) + 3 = 7 $。

9. 某市发出生活垃圾分类的号召后，实现生活垃圾分类的社区由第一季度的 1250 个，迅速增加到第三季度的 1800 个. 如果每一季度的平均增长率相同，那么照此速度增加，当年第四季度实现生活垃圾分类的社区可以达到（ ）
A. 2140 个 B. 2160 个 C. 2180 个 D. 2200 个

答案： B
解析：设季度增长率为 $ x $，$ 1250(1 + x)^2 = 1800 $，$ (1 + x)^2 = 1.44 $，$ x = 20\% $，四季度为 $ 1800×1.2 = 2160 $ 个。

10. 对于一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $（$ a \neq 0 $），现有下列说法：①若 $ a - b + c = 0 $，则方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $（$ a \neq 0 $）必有一个根为 1；②若方程 $ ax^2 + c = 0 $ 有两个不相等的实数根，则方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $（$ a \neq 0 $）必有两个不相等的实数根；③若 $ c $ 是方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $（$ a \neq 0 $）的一个根，则一定有 $ ac + b + 1 = 0 $ 成立. 其中正确的有（ ）
A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个

答案： B
解析：① $ a - b + c = 0 $ 时 $ x = -1 $ 是根，错误；② $ ax^2 + c = 0 $ 有两不等根 $ -\frac{4ac}{a^2} ＞ 0 $，则 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 判别式 $ b^2 - 4ac ＞ 0 $，正确；③ $ c $ 是根 $ ac^2 + bc + c = 0 $，$ c = 0 $ 时不一定 $ ac + b + 1 = 0 $，错误，正确 1 个，选 B。