《2025年全优点练课计划九年级数学上册人教版》

1. 二次函数$ y=-x^{2}+2x-5 $有（ ）
A. 最大值-5
B. 最小值-5
C. 最大值-4
D. 最小值-4

答案： C
解析：$ y=-(x-1)^{2}-4 $，开口向下，最大值为-4，选C.

2. 已知二次函数的图象（$ 0\leqslant x\leqslant3 $）如图所示，在该函数所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A. 函数有最小值1，有最大值3
B. 函数有最小值-1，有最大值0
C. 函数有最小值-1，有最大值3
D. 函数有最小值-1，无最大值

答案： C
解析：由图象知，顶点$ (1,-1) $（最小值），$ x=3 $时$ y=3 $（最大值），选C.

3. 【教材变式】如图，一边靠校园围墙（墙足够长），其他三边用总长为80m的铁栏杆围成一个矩形花圃. 设矩形$ ABCD $的边$ AB $长为$ x $m，面积为$ S $m². 要使矩形$ ABCD $的面积最大，则$ x $为（ ）
A. 40
B. 30
C. 20
D. 10

答案： C
解析：$ BC=\frac{80-x}{2} $，$ S=x\cdot\frac{80-x}{2}=-\frac{1}{2}x^{2}+40x $，对称轴$ x=40 $？（修正：若$ AB $为靠墙一边，则$ BC=\frac{80-2x}{1} $，$ S=x(80-2x)=-2x^{2}+80x $，对称轴$ x=20 $，选C.）

4. 某县在治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地. 如图，自建房占地是边长为20m的正方形$ ABCD $，改建的绿地是矩形$ AEFG $，点$ E $在$ AB $上，点$ G $在$ AD $的延长线上，且$ DG=2BE $. 如果设$ BE $的长为$ x $（m），绿地$ AEFG $的面积为$ y $（m²），那么$ y $与$ x $之间的函数解析式为______，绿地$ AEFG $的最大面积为______m².

答案： $ y=-2x^{2}+20x+400 $，450
解析：$ AE=20-x $，$ AG=20+2x $，$ y=(20-x)(20+2x)=-2x^{2}+20x+400 $. 对称轴$ x=5 $，最大值$ y=-2×25+100+400=450 $.

5. 【教材变式】一块三角形材料如图所示，$ \angle A=30^{\circ} $，$ \angle C=90^{\circ} $，$ AB=12 $. 用这块材料剪出一个矩形$ CDEF $，其中，点$ D $，$ E $，$ F $分别在$ BC $，$ AB $，$ AC $上（点$ E $不与点$ A $，$ B $重合）. 设$ AE=x $，矩形$ CDEF $的面积为$ S $.
（1）当$ x $为______时，$ S $有最大值，$ S $的最大值为______；
（2）当$ x $为______时，矩形$ CDEF $为正方形.

答案： （1）6，$ 3\sqrt{3} $
（2）$ \frac{12\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}} $（或化简为$ 6\sqrt{3}-6 $）
解析：（1）$ BC=6 $，$ AC=6\sqrt{3} $，$ EF=\frac{x}{2} $，$ AF=\frac{\sqrt{3}}{2}x $，$ FC=6\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}x $，$ S=EF\cdot FC=\frac{x}{2}(6\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}x)=-\frac{\sqrt{3}}{4}x^{2}+3\sqrt{3}x $. 对称轴$ x=6 $，最大值$ S=-\frac{\sqrt{3}}{4}×36+18\sqrt{3}=9\sqrt{3} $？（修正：$ S=-\frac{\sqrt{3}}{4}x^{2}+3\sqrt{3}x $，当$ x=6 $时，$ S=9\sqrt{3} $.）
（2）$ EF=FC $，$ \frac{x}{2}=6\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}x $，解得$ x=6\sqrt{3}-6 $.

6. 如图是小磊制作的一个三角形钢架模型$ ABC $，其中$ BC=x $cm，且$ BC+AD=40 $cm. 设$ \triangle ABC $的面积为$ S $cm².
（1）求出$ S $与$ x $之间的函数解析式.（不要求写出自变量$ x $的取值范围）
（2）当$ x $是多少时，这个三角形的面积$ S $最大？最大面积是多少？

答案： （1）$ S=-\frac{1}{2}x^{2}+20x $
（2）$ x=20 $时，$ S_{max}=200 $cm²
解析：（1）$ AD=40-x $，$ S=\frac{1}{2}x(40-x)=-\frac{1}{2}x^{2}+20x $.
（2）对称轴$ x=20 $，$ S_{max}=-\frac{1}{2}×400+400=200 $.