《2025年全优点练课计划九年级数学上册人教版》

1. 若 $x_1$，$x_2$ 是一元二次方程 $5x^2 + x - 5 = 0$ 的两个根，则 $x_1 + x_2$ 的值是（ ）
A. $\frac{1}{5}$
B. $-\frac{1}{5}$
C. 1
D. $-1$

答案： B
解析：由根与系数的关系，$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{1}{5}$。

2. 方程 $x^2 - x + 2 = 0$ 的根的情况是（ ）
A. 两个实数根的积为 2
B. 两个实数根的和为 1
C. 没有实数根
D. 有两个不相等的实数根

答案： C
解析：$\Delta = 1 - 8 = -7 ＜ 0$，方程没有实数根，选 C。

3. （菏泽中考）一元二次方程 $x^2 + 3x - 1 = 0$ 的两根为 $x_1$，$x_2$，则 $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$ 的值为（ ）
A. $\frac{3}{2}$
B. $-3$
C. 3
D. $-\frac{3}{2}$

答案： C
解析：$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \frac{-3}{-1} = 3$，选 C。

4. 方程 $x^2 + 2x - 3 = 0$ 的两个根为 $x_1$，$x_2$，则 $x_1 \cdot x_2$ 的值为______.

答案： -3
解析：由根与系数的关系，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = -3$。

5. 不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积.
(1) $x^2 + 3x + 1 = 0$；
(2) $3x^2 - 2x - 1 = 0$；
(3) $-2x^2 + 3 = 0$；
(4) $2x^2 + 5x = 0$.

答案：
(1) 和：$-3$，积：$1$；
(2) 和：$\frac{2}{3}$，积：$-\frac{1}{3}$；
(3) 和：$0$，积：$-\frac{3}{2}$；
(4) 和：$-\frac{5}{2}$，积：$0$
解析：
(1) $a = 1$，$b = 3$，$c = 1$，和 $-\frac{b}{a} = -3$，积 $\frac{c}{a} = 1$。
(2) $a = 3$，$b = -2$，$c = -1$，和 $\frac{2}{3}$，积 $-\frac{1}{3}$。
(3) 方程化为 $2x^2 - 3 = 0$，$a = 2$，$b = 0$，$c = -3$，和 $0$，积 $-\frac{3}{2}$。
(4) 方程化为 $2x^2 + 5x + 0 = 0$，和 $-\frac{5}{2}$，积 $0$。

6. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 + (2k + 1)x + k^2 = 0$ 有两个不相等的实数根.
(1) 求 $k$ 的取值范围.
(2) 设方程的两个实数根分别为 $x_1$，$x_2$. 当 $k = 1$ 时，求 $x_1^2 + x_2^2$ 的值.

答案：
(1) $k ＞ -\frac{1}{4}$；
(2) $7$
解析：
(1) $\Delta = (2k + 1)^2 - 4k^2 = 4k + 1 ＞ 0$，解得 $k ＞ -\frac{1}{4}$。
(2) $k = 1$ 时，方程为 $x^2 + 3x + 1 = 0$，$x_1 + x_2 = -3$，$x_1x_2 = 1$，$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 9 - 2 = 7$。

7. 已知 $x_1$，$x_2$ 是一元二次方程 $x^2 + 2x - k - 1 = 0$ 的两个根，且 $x_1 \cdot x_2 = -3$，则 $k$ 的值为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： B
解析：由根与系数的关系，$x_1x_2 = -k - 1 = -3$，解得 $k = 2$，选 B。

8. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $2x^2 + (2 - 4m)x + 6m = 0$ 的两根之和与两根之积相等，则 $m$ 的值为（ ）
A. $-2$
B. $-1$
C. 2
D. 6.5

答案： B
解析：两根之和 $\frac{4m - 2}{2} = 2m - 1$，两根之积 $\frac{6m}{2} = 3m$，由 $2m - 1 = 3m$，解得 $m = -1$，选 B。

9. 【易错题】若关于 $x$ 的方程 $x^2 - m^2x + 3m = 0$ 的两个实数根的和为 4，则 $m$ 的值为______.

答案： -2
解析：由根与系数的关系，$m^2 = 4$，$m = \pm 2$。当 $m = 2$ 时，方程 $x^2 - 4x + 6 = 0$，$\Delta = 16 - 24 = -8 ＜ 0$；当 $m = -2$ 时，方程 $x^2 - 4x - 6 = 0$，$\Delta = 16 + 24 = 40 ＞ 0$，故 $m = -2$。